Etudier une désintégration de particules Problème

Dans un accélérateur de particules, un groupe de mésons \pi ^+ est envoyé sur une cible à la vitesse v=0{,}990c.

Données :

Distance entre le point d'entrée des particules et la cible D=100 \text{ m}
Nombre initial de mésons \pi ^+ : N_0=1{,}0 \times 10^6
Célérité de la lumière : c = 299\ 792\ 458 \text{ m.s}^{-1}
Facteur de Lorentz : \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
Durée de vie d'un méson \pi ^+ dans un référentiel où il est immobile : \tau = 2{,}60 \times 10^{-8} \text{ s}
Loi de décroissance des particules : N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{t}{\tau}}

a

Dans le référentiel du laboratoire, quelle durée \Delta t_{labo} met une particule à se propager jusqu'à la cible ?

\Delta t_{labo} = \dfrac{D}{v} = \dfrac{100}{0{,}9990 \times 299\ 792\ 458} =3{,}37 \times 10^{-7}\text{ s}

\Delta t_{labo} = \dfrac{D}{v} = \dfrac{10{,}0}{299\ 792\ 458} =3{,}37 \times 10^{-8} \text{ s}

\Delta t_{labo} = \dfrac{v}{D} = \dfrac{0{,}9990}{100} = 9{,}99 \times 10^{-3}\text{ s}

\Delta t_{labo} = \dfrac{D}{v} = \dfrac{100}{ 3} =3{,}33 \times 10^{1}\text{ s}

b

En utilisant \tau = 2{,}60 \times 10^{-8} \text{ s} comme durée de vie des particules dans le référentiel du laboratoire, quel est le nombre de particules venant impacter la cible ?

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = 1{,}0 \times 10^5 e^{\frac{-3{,}37 \times 10^{-7}}{2{,}60 \times 10^{-8}}} = 0{,}23

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{-3{,}37 \times 10^{-7}}{2{,}60 \times 10^{-8}}} = 2{,}3

N_{\left(t\right)} = N_0e^{\frac{\tau}{\Delta t_{labo}}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{2{,}60 \times 10^{-8}}{3{,}37 \times 10^{-7}}} = 1{,}1 \times 10^{6}

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\times \frac{\tau}{\Delta t_{labo}}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{-\frac{3{,}37\times 10^{-8}}{2{,}6 \times 10^{-7}}} = 8{,}8 \times 10^{5}

a

En réalité, le nombre de particules arrivant jusqu'à la cible est beaucoup plus important que celui calculé précédemment.

Comment est-ce possible ?

La durée de vie des particules dans le référentiel du laboratoire n'est pas égale à celle définie dans leur référentiel, car elles sont relativistes.

Étant en mouvement, les particules ne se désintègrent pas.

La durée de vie des particules donnée est erronée, elle est en réalité plus grande que celle donnée.

La durée de vie des particules donnée est erronée, elle est en réalité plus faible que celle donnée.

b

Pourquoi ces particules sont-elles relativistes ?

Car leur vitesse est proche de celle de la lumière.

Car leur vitesse est proche de celle du son.

Car ce sont des particules quantiques.

Car elles subissent des désintégrations.

c

Quelle relation lie une durée mesurée dans le laboratoire \Delta t _{labo} et une durée \Delta t _{0} définie dans le référentiel propre des particules ?

\Delta t _{labo} = \gamma \times \Delta t _{0}

\Delta t _{labo} = \gamma \div \Delta t _{0}

\Delta t _{0}= \gamma \times \Delta t _{labo}

\Delta t _{labo} = \Delta t _{0}

d

Quel est alors le calcul correct de la durée mise par les particules à atteindre la cible, dans leur référentiel ?

\Delta t _{0} = \dfrac{\Delta t _{labo}}{\gamma} = \dfrac{3{,}37 \times 10^{-7}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}990c\right)^2}{c^2}}}} = 4{,}75 \times 10^{8} \text{ s}

\Delta t _{0} = \dfrac{\Delta t _{labo}}{\gamma} = \dfrac{3{,}37 \times 10^{7}}{\dfrac{1}{1-\dfrac{\left(0{,}990c\right)^2}{c^2}}} = 6{,}7 \times 10^{5} \text{ s}

\Delta t _{0} = \dfrac{\Delta t _{labo}}{\gamma} = \dfrac{3{,}37 \times 10^{-7}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}990\right)}{c}}}} = 3{,}3 \times 10^{-7} \text{ s}

\Delta t _{0} = \dfrac{\Delta t _{labo}}{\gamma} = \dfrac{3{,}37 \times 10^{-7}}{\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}990c\right)^2}{c^2}}}} = 4{,}75 \times 10^{-8} \text{ s}

e

Par déduction, quel est le nombre réel de mésons \pi^+ venant impacter la cible ?

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{-4{,}75 \times 10^{-8}}{2{,}60 \times 10^{-8}}} =1{,}6 \times 10^5

N_{\left(t\right)} = N_0e^{2 \times \frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{2 \times \frac{4{,}75 \times 10^{-8}}{2{,}60 \times 10^{-8}}} =3{,}9 \times 10^6

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{4{,}75 \times 10^{-8}}{2{,}60 \times 10^{-8}}} =6{,}2 \times 10^6

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau}} = e^{\frac{-475 \times 10^{-8}}{260 \times 10^{-8}}} =0{,}16

a

Pour effectuer le calcul correct dans le référentiel du laboratoire, quelle durée de vie faut-il utiliser ?

Il faut utiliser la durée de vie des particules dans le référentiel du laboratoire.

Il faut utiliser la durée de vie des particules dans leur référentiel.

Il faut utiliser la durée de vie des particules dans le référentiel galiléen.

Il faut utiliser la durée de vie des particules dans le référentiel de l'accélérateur.

b

Quel est le calcul correct de la durée de vie des particules dans le référentiel du laboratoire ?

\tau_{labo} = \gamma \times \tau = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}990c\right)^2}{c^2}}} \times 2{,}60\times 10^{-8} =1{,}84 \times 10^{-7} \text{ s}

\tau_{labo} = \gamma \times \tau = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{c}{c^2}}} \times 2{,}60\times 10^{-8} =2{,}60 \times 10^{8} \text{ s}

\tau_{labo} = \dfrac{ \tau}{\gamma} = \dfrac{ 2{,}60\times 10^{-8}}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}999\right)^2}{c}}} =2{,}6 \times 10^{-8} \text{ s}

\tau_{labo} = \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\left(0{,}990c\right)^2}{c^2}}}=2{,}6 \times 10^{-7} \text{ s}

c

Quel est alors dans le référentiel du laboratoire, le calcul correct du nombre de particules venant impacter la cible ?

N_{\left(t\right)} = N_0e^{-\frac{\Delta t_{labo}}{\tau_{labo }}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{-3{,}37 \times 10^{-7}}{1{,}84 \times 10^{-7}}} =1{,}6 \times 10^5

N_{\left(t\right)} = N_0e^{\frac{\Delta t_{labo}}{\tau_{labo }}} = 1{,}0 \times 10^6 e^{\frac{3{,}37 \times 10^{-7}}{1{,}84 \times 10^{-7}}} =6{,}2 \times 10^6

N_{\left(t\right)} = N_0 \times {\dfrac{\Delta t_{labo}}{\tau_{labo }}} = 1{,}0 \times 10^6 \times{\dfrac{3{,}37 \times 10^{-7}}{1{,}84 \times 10^{-7}}} =1{,}8 \times 10^{6}

N_{\left(t\right)} = e^{-\Delta t_{labo}} = e^{-3{,}37 \times 10^{-7}} =9{,}9 \times 10^5