Sixième 2015-2016
Kartable
Sixième 2015-2016

La symétrie axiale

I

Généralités

A

Définition de la symétrie axiale

Symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles sont superposables par pliage le long de cette droite. On parle alors de symétrie axiale (ou orthogonale) d'axe (d) et la droite (d) est appelée axe de symétrie.

Ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d).

-
Deux figures symétriques ont la même forme et les mêmes dimensions. Elles ont donc le même périmètre et la même aire (pour les surfaces).
B

Les propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale respecte des propriétés géométriques :

  • Le symétrique d'une droite par symétrie axiale est une droite.
  • Le symétrique d'un segment par symétrie axiale est un segment de même longueur.
  • Le symétrique d'un angle par symétrie axiale est un angle de même mesure.
  • Le symétrique d'un cercle par symétrie axiale est un cercle de même rayon.
Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de chacun des points qui la définissent et on reproduit la forme.
-
II

Les axes de symétrie d'une figure

A

Les axes de symétrie d'une figure

Axe de symétrie

La droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties de cette figure se superposent par pliage le long de la droite.

La droite (d) est un axe de symétrie de la figure.

-
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie ou au contraire aucun.

La figure 1, qui est un carré, possède 4 axes de symétrie. La figure 2, quelconque, n'en a pas.

-
B

La médiatrice d'un segment

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].

-

La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment. Si (d) est la médiatrice du segment [AB], on dit que le point B est le symétrique du point A par rapport à (d) (et inversement).

Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite (d).

-

Inversement, le symétrique du point A par rapport à une droite (d) est le point B tel que (d) soit la médiatrice du segment [AB]. Si le point A est sur la droite (d), son symétrique est lui-même : le point A est alors dit invariant.

Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.

Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. Donc CA = CB.

-

Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.

On remarque que CA=CB. Le point C appartient donc à la médiatrice du segment [AB].

-
C

Les cerfs-volants

Cerfs-volants

Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est un axe de symétrie.

Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant car sa diagonale [AC] est un axe de symétrie.

-

Dans un cerf-volant ABCD d'axe de symétrie (AC) :

  • AD=AB
  • BC=CD
  • ABCˆ=ADCˆ
  • (AC)(BD)
-
D

La bissectrice d'un angle

Bissectrice d'un angle

La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle. C'est la (demi-)droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.

La droite (d) est la bissectrice de l'angle AOBˆ.

-
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