Troisième 2016-2017
Kartable
Troisième 2016-2017

Théorème de Thalès et réciproque

I

Le théorème

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N. D'après le théorème de Thalès :

AMAB=ANAC=MNBC

-

On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente où les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle avec M[AB] et N[AC]. De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :

AMAB=ANAC=MNBC

D'où :

3,3AB=ANAC=2,53,5

On en déduit que :

3,3AB=2,53,5

Puis avec le produit en croix :

AB=3,3×3,52,5=4,62 cm

On peut également obtenir une configuration où M[AB] et N[AC].

-
-
  • Ce théorème permet de calculer une longueur dans une telle configuration, si on connaît les autres.
  • Il permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
II

Sa réciproque

Réciproque du Théorème de Thalès

Considérons un triangle ABC. Si une droite coupe (AB) en M et (AC) en N, telle que :

  • AMAB=ANAC
  • Les points A, M, B et A, N, B sont dans le même ordre.

Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

-

On veut démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.

D'une part :

AMAB=22,4=56

D'autre part :

ANAC=2,53=56

Donc :

AMAB=ANAC

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

En remplaçant l'hypothèse AMAB=ANAC par MNBC=ANAC ou AMAB=MNBC, la conclusion est la même.

Ce théorème sert à montrer que deux droites sont parallèles.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.