Troisième 2015-2016
Kartable
Troisième 2015-2016

Les écritures numériques

I

Quotients, puissances et racines carrées

A

Les quotients

Ecriture fractionnaire

Soient a et b deux nombres, avec b différent de 0.
L'écriture fractionnaire ab représente le quotient de a par b.

17,1÷5,6 a pour écriture fractionnaire 17,15,6.

Si a et b sont entiers, le quotient ab est appelé fraction.

78 est une fraction.

Attention le dénominateur est toujours différent de 0. La division par 0 n'existe pas.

Dans toutes les propriétés ci-dessous, a, b, c et d sont des nombres quelconques avec c et d non nuls.

ac=a×dc×d

On prend d=3 :

47=4×37×3=1221

ac+bc=a+bc

617+917=6+917=1517

acbc=abc

8343=843=43

ac×bd=a×bc×d

25×87=2×85×7=1635

Pour cette propriété, on rajoute l'hypothèse b non nul :

abcd=ab×dc

2345=23×54=1012=56

Produit en croix :

Si ac=bd, alors ad=bc

5721=197 équivaut à 57×7=19×21

Trait de fraction

Dans un calcul comportant des quotients, le trait de fraction tient lieu de parenthèses. Ce qui signifie notamment que le signe présent devant un quotient se répercute sur l'ensemble des nombres du numérateur.

51112114211=51(21142)11=5121+14211
B

Les puissances

Puissance

Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 2.
On désigne par an la puissance n du nombre a, telle que :

an=a×a×...×an facteurs

L'entier n est appelé l'exposant.

25=2×2×2×2×2=32

  • a1=a
  • Par convention : a0=1

130=1

1501=150

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, n et p deux entiers relatifs :

an×ap=an+p

38×32=382=36

(an)p=an×p

(52)4=52×4=58

1an=an

143=43

142=42

anap=anp

4543=453=42

(ab)n=an×bn

(2×5)3=23×53

(ab)n=anbn

(23)9=2939

C

Les racines carrées

Racine carrée

Soit a un nombre positif.
On désigne par a la racine carrée de a, qui est égale au nombre positif dont le carré est a :

(a)2=a

(15)2=15

  • Si a est positif: a2=a
  • Si a est négatif : a2=a ( a est effectivement positif dans ce cas)

16=42=4

(5)2=25=52=5

Avec :

5=(5)

(a)2=a2

(5)2=52

Ne pas confondre (a)2 et a2.

Soient a et b deux nombres positifs :

ab=a×b

15=5×3=5×3

ab=ab, avec b0

94=94=3222=32

Même si le produit a×b est positif on peut avoir a<0 et b<0.

Dans ce cas, ab existe mais n'est pas égale à a×b. En effet, si a et b sont négatifs, alors les racines n'existent pas.

Si a=6 et b=54 alors ab=324.

  • ab=324=18
  • En revanche, a et b n'existent pas

Attention, la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.

a+ba+b

  • D'une part 9+16=25=5,
  • D'autre part 9+16=3+4=7

Donc 9+169+16.

II

Les différentes écritures d'un nombre

A

L'écriture décimale

Ecriture décimale

Tout nombre dont la partie décimale est finie admet une écriture décimale.

3,141592654 est une écriture décimale.

π3,141 592 654... Ce n'est pas une écriture décimale car le nombre de chiffres après la virgule est infini.

  • Il est possible d'ajouter un nombre infini de 0 après la dernière décimale sans changer la valeur du nombre. Par convention, l'écriture décimale d'un nombre s'arrête à la dernière décimale différente de 0.
  • Dans cette convention, l'écriture décimale d'un entier ne présente pas de virgule.

52 a pour écriture décimale : 2,5. Ce nombre est aussi égal à 2,50 ou 2,50000 par exemple.

4 est une écriture décimale. L'entier 4 vaut également : 4,0 ou 4,00, etc.

B

L'écriture fractionnaire

Ecriture fractionnaire

Tout nombre dont la partie décimale est finie ou périodique (répétition infinie d'une séquence de décimales) admet une écriture fractionnaire.

0,107 107 107...=107999

0,33 333 333...=13

0,454=4541 000

  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire en admet une infinité, ce qui signifie que plusieurs fractions peuvent être égales au même nombre.
  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire admet une écriture décimale.

2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) : 245100, 4920

0,33333... admet pour écritures fractionnaires : 13, 618

C

L'écriture scientifique

Ecriture scientifique

Tout nombre décimal non nul admet une écriture scientifique de la forme :

a×10p

avec p entier relatif, et :

  • 1a<10 si le nombre est positif
  • 10<a1 si le nombre est négatif.

312,8 admet pour écriture scientifique : 3,128×102.

−0,00056 admet pour écriture scientifique : 5,6×104.

Un nombre décimal non nul admet une unique écriture scientifique.
III

Les règles générales de calcul

A

Les priorités entre les opérations

Priorités des opérations

En l'absence de parenthèses, on calcule une expression en traitant les opérations dans cet ordre de priorité :
1. Les puissances
2. Les multiplications et divisions
3. Les additions et soustractions.

Si l'expression comporte des parenthèses, on procède en priorité aux calculs présents dans les parenthèses.

A=1315×(81÷932)Parenthèse8

A=1315×81÷9321er calcul8

A=1315×(81÷92e calcul9)8

A=1315×(993e calcul)8

A=1315×04e calcul8

A=1308

A=138

A=5

B

L'opposé d'un nombre

Opposé d'un nombre

Tout nombre a admet un opposé égal à :

a.

L'opposé du nombre 78 est −78.

Si a est positif, son opposé est négatif. Et inversement, si a est négatif, son opposé est positif.

L'opposé de (+56) est (−56).

L'opposé de (−8,1) est (+8,1).

On a :

a+(a)=aa=0

On remarque que (8,1)+(+8,1)=0.

Soustraire un nombre c'est ajouter son opposé.

ab=a+(b)

5,659,6=5,65+(9,6)=3,95

17y(4x)=17y+(+4x)=17y+4x

Quand il y a un signe devant une parenthèse, on peut supprimer les parenthèses et le signe , en réécrivant les termes de la paranthèse en changeant leurs signes.

(a+2)=a2

C

L'inverse d'un nombre

Inverse d'un nombre

Tout nombre a différent de 0 admet un inverse égal à :

1a

L'inverse de 5 est 15=0,2.

L'inverse de −2 est 12=12=0,5.

a×1a=1

9×19=1

61×161=1

L'inverse de ab est ba.

L'inverse de 1731 est 3117.

L'inverse de 76 est 67.

L'inverse de 112 est 121=12.

Diviser par un nombre c'est multiplier par l'inverse de ce nombre :

  • Diviser par a c'est multiplier par 1a.
  • Diviser par 1a c'est multiplier par a.
  • Diviser par ab c'est multiplier par ba.

125÷25=125×125=125×0,04=5

12÷14=12×4=48

18÷92=18×29=369=4

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