Troisième 2015-2016

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Les écritures numériques

I

Quotients, puissances et racines carrées

A

Les quotients

Ecriture fractionnaire

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres, avec \(\displaystyle{b}\) différent de 0.
L'écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) représente le quotient de \(\displaystyle{a}\) par \(\displaystyle{b}\).

\(\displaystyle{17,1\div5,6}\) a pour écriture fractionnaire \(\displaystyle{\dfrac{17,1}{5,6}}\).

Si \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) sont entiers, le quotient \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est appelé fraction.

\(\displaystyle{\dfrac78}\) est une fraction.

Attention le dénominateur est toujours différent de 0. La division par 0 n'existe pas.

Dans toutes les propriétés ci-dessous, a, b, c et d sont des nombres quelconques avec c et d non nuls.

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}=\dfrac{a \times d}{c \times d}}\)

On prend \(\displaystyle{d=3}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{4}{7}=\dfrac{4\times3}{7\times3}=\dfrac{12}{21}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a + b}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{6}{17}+\dfrac{9}{17}=\dfrac{6+9}{17}=\dfrac{15}{17}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a - b}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac83-\dfrac43=\dfrac{8-4}{3}=\dfrac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{c}\times \dfrac{b}{d}=\dfrac{a \times b}{c \times d}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{2}{5}\times\dfrac{8}{7}=\dfrac{2\times8}{5\times7}=\dfrac{16}{35}}\)

Pour cette propriété, on rajoute l'hypothèse b non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}}\)

Produit en croix :

Si \(\displaystyle{\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}}\), alors \(\displaystyle{ad = bc}\)

\(\displaystyle{\dfrac{57}{21}=\dfrac{19}{7}}\) équivaut à \(\displaystyle{57\times7=19\times21}\)

Trait de fraction

Dans un calcul comportant des quotients, le trait de fraction tient lieu de parenthèses. Ce qui signifie notamment que le signe présent devant un quotient se répercute sur l'ensemble des nombres du numérateur.

\(\displaystyle{\dfrac{51}{11}-\dfrac{21 - 142}{11}=\dfrac{51 - \left(21 - 142\right)}{11}=\dfrac{51 {\color{Red}-} 21 {\color{Red}+} 142}{11}}\)
B

Les puissances

Puissance

Soit \(\displaystyle{n}\) un entier positif non nul supérieur ou égal à 2.
On désigne par \(\displaystyle{a^{n}}\) la puissance \(\displaystyle{n}\) du nombre \(\displaystyle{a}\), telle que :

\(\displaystyle{a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}}\)

L'entier \(\displaystyle{n}\) est appelé l'exposant.

\(\displaystyle{2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32}\)

  • \(\displaystyle{a^{1} = a}\)
  • Par convention : \(\displaystyle{a^{0} = 1}\)

\(\displaystyle{13^0=1}\)

\(\displaystyle{150^1=150}\)

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres relatifs non nuls, \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\) deux entiers relatifs :

\(\displaystyle{a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}}\)

\(\displaystyle{3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6}\)

\(\displaystyle{\left(a^{n}\right)^{p} = a^{n\times p}}\)

\(\displaystyle{\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{a^{n}}= a^{-n}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{4^{-3}} = 4^{3} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{4^{2}} = 4^{-2} }\)

\(\displaystyle{\dfrac{a^{n}}{a^{p}}= a^{n-p}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2}\)

\(\displaystyle{\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\)

\(\displaystyle{\left(2\times5\right)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}}\)

C

Les racines carrées

Racine carrée

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre positif.
On désigne par \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) la racine carrée de \(\displaystyle{a}\), qui est égale au nombre positif dont le carré est \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a}\)

\(\displaystyle{\left( \sqrt{15} \right)^{2}=15}\)

  • Si \(\displaystyle{a}\) est positif: \(\displaystyle{\sqrt{a^{2}} = a}\)
  • Si \(\displaystyle{a}\) est négatif : \(\displaystyle{\sqrt{a^{2}} = - a}\) ( \(\displaystyle{- a}\) est effectivement positif dans ce cas)

\(\displaystyle{\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}= 4}\)

\(\displaystyle{\sqrt{\left(- 5\right)^{2}}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}= 5}\)

Avec :

\(\displaystyle{5=-\left(-5\right)}\)

\(\displaystyle{\sqrt{\left( -a \right)^{2}}=\sqrt{a^2}}\)

\(\displaystyle{\sqrt{\left(-5\right)^2}=\sqrt{5^2}}\)

Ne pas confondre \(\displaystyle{\left(\sqrt{a}\right)^{2}}\) et \(\displaystyle{\sqrt{a^{2}}}\).

Soient a et b deux nombres positifs :

\(\displaystyle{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}}\)

\(\displaystyle{\sqrt{15}=\sqrt{5\times3}=\sqrt{5}\times\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\), avec \(\displaystyle{b \neq 0}\)

\(\displaystyle{\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{2^2}}=\dfrac{3}{2}}\)

Même si le produit \(\displaystyle{a\times b}\) est positif on peut avoir \(\displaystyle{a\lt0}\) et \(\displaystyle{b\lt0}\).

Dans ce cas, \(\displaystyle{\sqrt{ab}}\) existe mais n'est pas égale à \(\displaystyle{\sqrt{a}\times\sqrt{b}}\). En effet, si a et b sont négatifs, alors les racines n'existent pas.

Si \(\displaystyle{a=-6}\) et \(\displaystyle{b=-54}\) alors \(\displaystyle{ab=324}\).

  • \(\displaystyle{\sqrt{ab}=\sqrt{324}=18}\)
  • En revanche, \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{\sqrt{b}}\) n'existent pas

Attention, la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.

\(\displaystyle{\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

  • D'une part \(\displaystyle{\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5}\),
  • D'autre part \(\displaystyle{\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7}\)

Donc \(\displaystyle{\sqrt{9+16}\neq\sqrt{9}+\sqrt{16}}\).

II

Les différentes écritures d'un nombre

A

L'écriture décimale

Ecriture décimale

Tout nombre dont la partie décimale est finie admet une écriture décimale.

3,141592654 est une écriture décimale.

\(\displaystyle{\pi\approx3,141\ 592\ 654...}\) Ce n'est pas une écriture décimale car le nombre de chiffres après la virgule est infini.

  • Il est possible d'ajouter un nombre infini de 0 après la dernière décimale sans changer la valeur du nombre. Par convention, l'écriture décimale d'un nombre s'arrête à la dernière décimale différente de 0.
  • Dans cette convention, l'écriture décimale d'un entier ne présente pas de virgule.

\(\displaystyle{\dfrac{5}{2}}\) a pour écriture décimale : 2,5. Ce nombre est aussi égal à 2,50 ou 2,50000 par exemple.

4 est une écriture décimale. L'entier 4 vaut également : 4,0 ou 4,00, etc.

B

L'écriture fractionnaire

Ecriture fractionnaire

Tout nombre dont la partie décimale est finie ou périodique (répétition infinie d'une séquence de décimales) admet une écriture fractionnaire.

\(\displaystyle{0,107\ 107\ 107...=\dfrac{107}{999}}\)

\(\displaystyle{0,33\ 333\ 333...=\dfrac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{0,454=\dfrac{454}{1\ 000}}\)

  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire en admet une infinité, ce qui signifie que plusieurs fractions peuvent être égales au même nombre.
  • Un nombre admettant une écriture fractionnaire admet une écriture décimale.

2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) : \(\displaystyle{\dfrac{245}{100}}\), \(\displaystyle{\dfrac{49}{20}}\)

0,33333... admet pour écritures fractionnaires : \(\displaystyle{\dfrac{1}{3}}\), \(\displaystyle{\dfrac{6}{18}}\)

C

L'écriture scientifique

Ecriture scientifique

Tout nombre décimal non nul admet une écriture scientifique de la forme :

\(\displaystyle{a\times10^{p}}\)

avec \(\displaystyle{p}\) entier relatif, et :

  • \(\displaystyle{1 \leq a \lt 10}\) si le nombre est positif
  • \(\displaystyle{- 10 \lt a \leq -1}\) si le nombre est négatif.

312,8 admet pour écriture scientifique : \(\displaystyle{3,128\times10^{2}}\).

−0,00056 admet pour écriture scientifique : \(\displaystyle{-5,6\times10^{-4}}\).

Un nombre décimal non nul admet une unique écriture scientifique.
III

Les règles générales de calcul

A

Les priorités entre les opérations

Priorités des opérations

En l'absence de parenthèses, on calcule une expression en traitant les opérations dans cet ordre de priorité :
1. Les puissances
2. Les multiplications et divisions
3. Les additions et soustractions.

Si l'expression comporte des parenthèses, on procède en priorité aux calculs présents dans les parenthèses.

\(\displaystyle{A=13-15\times \underbrace{\left(81\div9-3^2\right)}_{\text{Parenthèse}}-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(81\div9-\underbrace{3^2}_{\text{1er calcul}}\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(\underbrace{81\div9}_{\text{2e calcul}}-9\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-15\times\left(\underbrace{9-9}_{\text{3e calcul}}\right)-8}\)

\(\displaystyle{A=13-\underbrace{15\times0}_{\text{4e calcul}}-8}\)

\(\displaystyle{A=13-0-8}\)

\(\displaystyle{A=13-8}\)

\(\displaystyle{A=5}\)

B

L'opposé d'un nombre

Opposé d'un nombre

Tout nombre \(\displaystyle{a}\) admet un opposé égal à :

\(\displaystyle{- a}\).

L'opposé du nombre 78 est −78.

Si a est positif, son opposé est négatif. Et inversement, si a est négatif, son opposé est positif.

L'opposé de (+56) est (−56).

L'opposé de (−8,1) est (+8,1).

On a :

\(\displaystyle{a + \left(- a\right) = a - a = 0}\)

On remarque que \(\displaystyle{\left(−8,1\right) + \left(+8,1\right) = 0}\).

Soustraire un nombre c'est ajouter son opposé.

\(\displaystyle{a - b = a + \left(- b\right)}\)

\(\displaystyle{5,65 − 9,6 = 5,65 + \left(−9,6\right) = −3,95}\)

\(\displaystyle{17y − \left(−4x\right) = 17y + \left(+4x\right) = 17y + 4x}\)

Quand il y a un signe \(\displaystyle{-}\) devant une parenthèse, on peut supprimer les parenthèses et le signe \(\displaystyle{-}\), en réécrivant les termes de la paranthèse en changeant leurs signes.

\(\displaystyle{-\left( a+2 \right)=-a-2}\)

C

L'inverse d'un nombre

Inverse d'un nombre

Tout nombre \(\displaystyle{a}\) différent de 0 admet un inverse égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\)

L'inverse de 5 est \(\displaystyle{\dfrac15=0,2}\).

L'inverse de −2 est \(\displaystyle{\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-0,5}\).

\(\displaystyle{a \times \dfrac{1}{a}= 1}\)

\(\displaystyle{9\times\dfrac19=1}\)

\(\displaystyle{-61\times\dfrac{1}{-61}=1}\)

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{b}{a}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{17}{31}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{31}{17}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{-7}{6}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{-6}{7}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac{1}{12}}\) est \(\displaystyle{\dfrac{12}{1}=12}\).

Diviser par un nombre c'est multiplier par l'inverse de ce nombre :

  • Diviser par \(\displaystyle{a}\) c'est multiplier par \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\).
  • Diviser par \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\) c'est multiplier par \(\displaystyle{a}\).
  • Diviser par \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) c'est multiplier par \(\displaystyle{\dfrac{b}{a}}\).

\(\displaystyle{125\div25=125\times\dfrac{1}{25}=125\times0,04=5}\)

\(\displaystyle{12\div\dfrac14=12\times4=48}\)

\(\displaystyle{18\div\dfrac{9}{2}=18\times \dfrac29=\dfrac{36}{9}=4}\)