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Les symétries

I

La symétrie centrale

A

Symétrique d'un point, d'une figure

Figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent après avoir effectué un demi-tour autour du point O. Le point O est appelé "centre de symétrie".

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Symétrique d'un point

Deux points A et A' sont dits symétriques par rapport à un point O lorsque le point O est le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AA' \right]}\).

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Le point A' est le symétrique du point A par rapport à O. Inversement, le point A est le symétrique du point A' par rapport à O.

On dit aussi que le point A' est le symétrique du point A par la symétrie de centre O.

Dans une symétrie centrale, le centre est le seul point invariant (il est son propre symétrique).
B

Les propriétés de la symétrie centrale

La symétrie centrale conserve l'alignement, les distances, le parallélisme, les angles, les aires.
  • Le symétrique d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle.
  • Le symétrique d'un segment par symétrie centrale est un segment de même longueur.
  • Le symétrique d'un angle par symétrie centrale est un angle de même mesure.
  • Plus généralement, le symétrique d'une figure par symétrie centrale est une figure superposable.
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  • Les droites \(\displaystyle{\left( d \right)}\) et \(\displaystyle{\left( d' \right)}\) sont parallèles.
  • Les segments \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ A'B' \right]}\) ont la même longueur.
La symétrie centrale modifie toutefois le sens des figures (elle les "retourne" horizontalement et verticalement).
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Les figures ABCDE et VWXYZ sont symétriques par rapport à O.

II

Le centre de symétrie d'une figure

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie si son symétrique par rapport à ce centre est la figure elle-même.

Le point O est le centre de symétrie de la figure ci-dessous.

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Une figure dont les contours sont délimités ne possède au plus qu'un seul centre de symétrie.
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Le panneau de signalisation de fin de stationnement interdit admet un centre de symétrie.

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Le panneau de signalisation d'un rond-point n'a pas de centre de symétrie.

III

Comparaison des propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centrale

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IV

Axes et centres de symétrie de figures usuelles

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V

Caractérisation de la médiatrice

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement, en son milieu.

Dans la figure ci-dessous, \(\displaystyle{\Delta}\) est la médiatrice du segment \(\displaystyle{\left[AB \right]}\).

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Si un point M appartient à la médiatrice d'un segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\), alors il est équidistant (à la même distance) de A et de B.

Autrement dit, si M appartient à la médiatrice d'un segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\), alors \(\displaystyle{MA=MB}\).

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Réciproquement, si un point M est équidistant des deux extrémités d'un segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\), alors M appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

Autrement dit, si \(\displaystyle{MA=MB}\), alors M appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

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