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  4. Cours : Les symétries

Les symétriesCours

Sommaire

ILa symétrie centraleASymétrique d'un point, d'une figureBLes propriétés de la symétrie centraleIILe centre de symétrie d'une figureIIIComparaison des propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centraleIVAxes et centres de symétrie de figures usuellesVCaractérisation de la médiatrice
I

La symétrie centrale

A

Symétrique d'un point, d'une figure

Figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent après avoir effectué un demi-tour autour du point O. Le point O est appelé « centre de symétrie ».

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Symétrique d'un point

Deux points A et A' sont dits symétriques par rapport à un point O lorsque le point O est le milieu du segment \left[ AA' \right].

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Le point B est le symétrique du point A par rapport à O. Inversement, le point A est le symétrique du point B par rapport à O.

On dit aussi que le point A' est le symétrique du point A par la symétrie de centre O.

Dans une symétrie centrale, le centre est le seul point invariant (il est son propre symétrique).
B

Les propriétés de la symétrie centrale

La symétrie centrale conserve l'alignement, les distances, le parallélisme, les angles, les aires.
  • Le symétrique d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle.
  • Le symétrique d'un segment par symétrie centrale est un segment de même longueur.
  • Le symétrique d'un angle par symétrie centrale est un angle de même mesure.
  • Plus généralement, le symétrique d'une figure par symétrie centrale est une figure superposable.
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  • Les droites \left( d \right) et \left( d' \right) sont parallèles.
  • Les segments \left[ AB \right] et \left[ A'B' \right] ont la même longueur.

La symétrie centrale modifie toutefois le sens des figures (elle les « retourne » horizontalement et verticalement).

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Les figures ABCDE et VWXYZ sont symétriques par rapport à O.

II

Le centre de symétrie d'une figure

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie si son symétrique par rapport à ce centre est la figure elle-même.

Le point O est le centre de symétrie de la figure ci-dessous.

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Une figure dont les contours sont délimités ne possède au plus qu'un seul centre de symétrie.
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Le panneau de signalisation de fin de stationnement interdit admet un centre de symétrie.

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Le panneau de signalisation d'un rond-point n'a pas de centre de symétrie.

III

Comparaison des propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centrale

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IV

Axes et centres de symétrie de figures usuelles

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V

Caractérisation de la médiatrice

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement, en son milieu.

Dans la figure ci-dessous, \Delta est la médiatrice du segment \left[AB \right].

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Si un point M appartient à la médiatrice d'un segment \left[ AB \right], alors il est équidistant (à la même distance) de A et de B.

Autrement dit, si M appartient à la médiatrice d'un segment \left[ AB \right], alors MA=MB.

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Réciproquement, si un point M est équidistant des deux extrémités d'un segment \left[ AB \right], alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right].

Autrement dit, si MA=MB, alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right].