Quatrième 2015-2016

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La proportionnalité

I

La relation de proportionnalité

A

Les tableaux de proportionnalité

Grandeurs proportionnelles (première définition)

Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.

Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer \(\displaystyle{3 \times 1,02 = 3,06}\) €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.

Grandeurs proportionnelles (seconde définition)

Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième en multipliant toujours par un même nombre.

Pour passer d'un prix en euros (première grandeur) à un prix en francs (deuxième grandeur) on multiplie chaque prix en euros par 6,55957.

Tableau de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.

Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.

-

Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant, 1,02.

Dans un tableau de proportionnalité, si l'une des colonnes ne vérifie pas le même coefficient que les autres, il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité.

3 2 1,1
9 6 3,1

Ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité. Pour les deux premières colonnes on multiplie par 3 pour passer de la première ligne à la seconde, alors pour la dernière colonne ce n'est pas le cas.

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.

-

Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.

-
B

Le produit en croix

Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.

-

\(\displaystyle{ ? = \left(2 \times 7,14\right) \div 2,04 = 7}\)

-

Quatrième proportionnelle

Dans un produit en croix, la valeur manquante est appelée la quatrième proportionnelle.

Plus généralement, le produit en croix est une relation que vérifie deux fractions égales.
Si \(\displaystyle{\dfrac{\color{Blue}{a}}{\color{Red}{b}} = \dfrac{\color{Red}{c}}{\color{Blue}{d}}}\), alors \(\displaystyle{\color{Blue}{a \times d} = \color{Red}{b \times c}}\).
C

La représentation graphique de la proportionnalité

Dans la représentation graphique d'une situation de proportionnalité, tous les points sont alignés avec l'origine du repère.

Le graphique suivant représente la situation du tableau de proportionnalité :

-
-
II

Les applications de la proportionnalité

A

La vitesse moyenne

Vitesse moyenne

Lors d'un parcours d'une distance \(\displaystyle{d}\) en un temps \(\displaystyle{t}\), la vitesse moyenne \(\displaystyle{v}\) est égale à :

\(\displaystyle{v = \dfrac{d}{t}}\)

Un cycliste a parcouru 2,6 km en 15 mn. Pour connaître sa vitesse moyenne en km/h, on divise la distance parcourue exprimée en kilomètres par la durée du parcours exprimée en heures. Sachant que 15 mn = 0,25 h, on obtient :

\(\displaystyle{v = \dfrac{2,6}{0,25} = 10,4}\) km/h

L'unité de vitesse dépend des unités dans lesquelles sont exprimées la distance et la durée. Les unités courantes de vitesse sont le kilomètre par heure (km/h) et le mètre par seconde (m/s).
Pour calculer une distance parcourue connaissant la vitesse et la durée, ou pour calculer une durée de parcours connaissant la vitesse et la distance, on utilise le produit en croix.

Si on se déplace à 50 km/h, on peut calculer la durée de parcours grâce au tableau de proportionnalité suivant.

Distance parcourue (km) 50 250
Durée du parcours (h) 1 ?

\(\displaystyle{?=\dfrac{1\times250}{50}=5\text{ heures}}\)

Distance parcourue (km) 50 250
Durée du parcours (h) 1 5

Quand la vitesse est constante ou quand on travaille avec une vitesse moyenne, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la durée.

Comme il y a 1000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure, si une vitesse est donnée en kilomètres par heure et qu'on souhaite la convertir en mètres par seconde, on la multiplie par \(\displaystyle{\dfrac{1\ 000}{3\ 600}}\) ce qui revient à la diviser par 3,6.

Réciproquement, si la vitesse est donnée en mètres par seconde et qu'on veut la convertir en kilomètres par heure, on la multiplie par 3,6.

Si une voiture roule à 72 km/h, elle roule à 20 m/s.

Si un train fait du 50 m/s, il fait du 180 km/h.

B

Les pourcentages

Pourcentage

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

\(\displaystyle{\color{Blue}{6} \% = \dfrac{\color{Blue}{6}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{8,9} \% = \dfrac{\color{Blue}{8,9}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{31} \% = \dfrac{\color{Blue}{31}}{100}}\)

Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.

Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :

Nombre total d'enfants 20
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5

En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Il suffit de procéder par produit en croix, en ajoutant une colonne où la case du haut contient la valeur 100 :

Situation réelle Situation standardisée
Nombre total d'enfants 20 100
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5 25

Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est ainsi égale à 25%.

Pour calculer \(\displaystyle{t \%}\) d'un nombre, on multiplie ce nombre par \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\).

Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de \(\displaystyle{10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0,1 \times 82 = 8,2}\) € sur la chemise.

Certains pourcentages sont à connaître :

  • Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10.

10% de 156 valent \(\displaystyle{156\div10=15,6}\).

  • Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4.

25% de 240 valent \(\displaystyle{240\div4=60}\).

  • Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2.

50% de 10,2 valent \(\displaystyle{10,2\div2=5,1}\).

C

Les échelles

Echelle

Si une représentation est à l'échelle \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\), cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.

Une échelle peut s'écrire \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\) ou \(\displaystyle{1 : 2\ 500}\).

Echelle et tableau de proportionnalité

Il y a proportionnalité entre la distance réelle et la distance sur la carte.

Dans un tableau de proportionnalité, l'échelle représente le coefficient de proportionnalité.

Si l'échelle est \(\displaystyle{\dfrac{1}{100\ 000}}\), on peut utiliser le tableau suivant :

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