Quatrième 2015-2016

En vous inscrivant, vous autorisez Kartable à vous envoyer ses communications par email.

ou
Se connecter
Mot de passe oublié ?
ou

Les équations

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Equation

Une équation est une égalité faisant intervenir une inconnue, représentée par une lettre.

L'égalité suivante est une équation d'inconnue \(\displaystyle{x}\) : \(\displaystyle{14x-9=8+21x}\).

Lorsque l'inconnue est à la puissance 1, on parle d'équation du premier degré.

Un nombre est solution d'une équation si, lorsque l'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.

Considérons l'équation : \(\displaystyle{11 - x = 3x + 23}\)

\(\displaystyle{2}\) est-il solution de cette équation ? Non, car : \(\displaystyle{\underbrace{11 - 2}_{9} \neq \underbrace{3 \times 2 + 23}_{29}}\)

\(\displaystyle{-3}\) est-il solution de cette équation ? Oui, car : \(\displaystyle{\underbrace{11 - \left(-3\right)}_{14} = \underbrace{3 \times \left(-3\right) + 23}_{14}}\)

II

Résoudre une équation

Résoudre une équation revient à déterminer toutes ses solutions.

L'équation \(\displaystyle{x + 8 = 12}\) a pour unique solution 4.

L'équation \(\displaystyle{0x=12}\) n'a pas de solution.

Les équations du premier degré à une inconnue ont soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = 2x + 1}\) n'admet aucune solution.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = x - 1}\) admet une unique solution.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = 2x + 3}\) a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.

Si \(\displaystyle{a \neq 0}\), l'équation \(\displaystyle{ax = b}\) admet une solution :

\(\displaystyle{x = \dfrac{b}{a}}\)

L'équation \(\displaystyle{5x = 20}\) admet pour unique solution :

\(\displaystyle{x = \dfrac{20}{5} = 4}\)

Lorsque l'on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité (c'est-à-dire du côté gauche et du côté droit), l'égalité n'est pas modifiée.
Cette propriété est utile pour résoudre une équation : elle permet de regrouper toutes les inconnues d'un côté et tous les nombres connus de l'autre, de manière à obtenir une équation de la forme \(\displaystyle{ax = b}\).

Pour résoudre l'équation \(\displaystyle{3x - 9 = 0}\), on ajoute \(\displaystyle{9}\) dans les deux membres. On obtient ainsi l'équation :

\(\displaystyle{3x - 9 + 9 = 0 + 9}\)

\(\displaystyle{3x = 9}\)

Cette équation admet une solution :

\(\displaystyle{x = \dfrac93 = 3}\)

Afin d'aller plus vite, on remarque que pour faire passer un terme d'un membre à un autre, on change son signe.

\(\displaystyle{15x\color{Red}{+30}=75}\)

\(\displaystyle{15x=75\color{Red}{-30}}\)

Dans cet exemple on fait passer +30 dans le membre de droite en écrivant −30.