Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + \infty[ par f(x)=\dfrac{1}{1+x}.
Soit h un nombre réel non nul tel que h \gt -1.
Quelle est l'expression du taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0+h ?
On sait que si a appartient au domaine de définition d'une fonction f, alors, pour tout réel h non nul, le taux d'accroissement de f entre a et a+h est le quotient :
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
En posant a=0, et h\neq0, le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0+h est donc :
\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{f(h)-f(0)}{h}
On calcule :
f(0)=\dfrac{1}{1+0}=1
On exprime f(h)=\dfrac{1}{1+h}.
Ainsi, le taux d'accroissement de la fonction entre 0 et h est :
\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{1+h}-1}{h}
On réduit au même dénominateur le numérateur de cette expression :
\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{\dfrac{1-(1+h)}{1+h}}{h}
\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{\dfrac{-h}{1+h}}{h}
\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{-h}{1+h}\times \dfrac{1}{h}
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0+h est donc :
-\dfrac{1}{1+h}
On admet que le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0+h est aussi proche que l'on veut d'un nombre l quand h s'approche de 0.
Que peut-on en déduire ?
Le taux d'accroissement devient aussi proche que l'on veut d'un nombre réel l lorsque h est suffisamment proche de 0.
Cela signifie que sa limite est l quand h tend vers 0.
Or on sait qu'une fonction f est dite dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0.
On sait également que dans ce cas, cette limite finie est appelée nombre dérivé de f en a.
La fonction f est dérivable en 0, et le nombre dérivé en 0 est l.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs du taux d'accroissement de f entre 0 et h pour des valeurs de h de plus en plus proches de 0.
On note f'(0) le nombre dérivé de f en 0.
Que vaut f'(0) ?
Dans le tableau de valeurs, on observe que le taux d'accroissement de f entre 0 et 0+h prend des valeurs de plus en plus proches de -1 lorsque h s'approche de 0.
Or, on sait que si ce taux d'accroissement admet une limite finie quand h tend vers 0, alors cette limite est appelée nombre dérivé de f en 0.
On en déduit que le nombre dérivé de f en 0 est -1.
Ainsi, f'(0)=-1.
Soit h un nombre non nul tel que h \gt -1.
On a représenté ci-dessous la courbe de f ainsi que quatre des sécantes à la courbe au point de coordonnées (0;1) et de coefficient directeur T_{h}=-\dfrac{1}{1+h}.
Quelle droite représente la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (0;1) ?
Sur le graphique, on a représenté quatre des sécantes à la courbe de f passant par le point de coordonnées (0 ;1 ) et de coefficient directeur T_{h}=-\dfrac{1}{1+h}.
Or T_{h}=-\dfrac{1}{1+h} est le taux d'accroissement de la fonction f entre 0 et 0+h.
On sait qu'alors cette famille de droites a une position limite quand h tend vers 0 ; cette position limite est la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Ainsi, la tangente est la droite qui :
- passe par le point de la courbe de coordonnées (0 ;1 ) ;
- a comme coefficient directeur la limite de T_{h}=-\dfrac{1}{1+h} quand h tend vers 0.
On a établi que cette limite est égale à (-1).
On en déduit que la sécante qui a un coefficient directeur égal à -1 est la tangente.
On en déduit que la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (0;1) est :
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (0;1) ?
La tangente à la courbe de f au point de coordonnées (0;1) :
- passe par ce point ;
- a comme coefficient directeur f'(0)=-1.
On en déduit que l'équation de cette droite est y=f'(0)(x-0)+f(0).
Comme f'(0)=-1 et f(0)=1, cette équation s'écrit :
y=-(x-0)+1
y=-x+1
L'équation de la tangente à la courbe de f au point de coordonnées (0;1) est donc y=-x+1.