Une entreprise fabrique q centaines d'unités d'un produit. Le coût total de production (en euros) en fonction de q est donné par la fonction C.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction C ainsi que de sa tangente au point A d'abscisse 40.
La courbe représentant la fonction C passe par le point de coordonnées A (40 ;380).
Quelle interprétation peut-on faire de cette donnée ?
La courbe représentant la fonction C passe par le point A d'abscisse 40 et d'ordonnée 380.
Or, la fonction C associe à q centaines d'unités le coût total de fabrication en euros.
Ici :
q=40
Cela signifie que l'on considère 40 centaines d'unités donc 4 000 unités.
Le coût total est alors :
C(40)=380
Si l'entreprise fabrique 4 000 unités, alors le coût total pour l'entreprise sera de 380 €.
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction C au point d'abscisse 40 ?
La tangente à la courbe de la fonction C d'abscisse 40 est la droite (AB).
On a :
- A\left( 40;380 \right)
- B\left( 0;180 \right)
On calcule son coefficient directeur en effectuant le quotient :
\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{180-380}{0-40}=\dfrac{-200}{-40}
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction C d'abscisse 40 est 5.
On admet que la fonction C est dérivable en 40.
Quelle est la valeur de C'(40) ?
On sait que si une fonction f est dérivable en a alors elle admet au point de sa courbe d'abscisse a une tangente qui a pour coefficient directeur f'(a).
La fonction C est dérivable en 40 donc C'(40) est égal au coefficient directeur de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 40.
Or, on sait que ce coefficient est égal à 5.
On en déduit que C'(40)=5.
Quelle interprétation peut-on faire de la valeur de C'(40) ?
On sait qu'en économie, le coût marginal est défini comme la variation du coût total induite par la production et la vente d'une unité supplémentaire.
Lorsque la production est importante, le coût marginal est modélisé par la dérivée du coût total.
Dans notre cas, la production est en centaines d'unités : 40 unités produites et vendues correspondent à 4 000 produits vendus.
Ainsi on peut interpréter l'égalité C'(40)=5 en termes de coût marginal : si on augmente la production de 40 centaines d'unités à 41 centaines d'unités, alors le coût total augmentera de 5 euros.
Si on augmente la production de 4 000 à 4 100 produits, alors le coût total augmentera de 5 euros.
Sur le graphique précédent, on a tracé le point de la courbe représentant la fonction C d'abscisse 50, ainsi que la tangente à la courbe à ce point.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
On sait qu'en économie, lorsque la production est importante, le coût marginal est modélisé par la dérivée du coût total.
On sait aussi que C'(40)=5.
On compare donc C'(40) et C'(50) pour connaître le coût marginal le plus grand.
On détermine ainsi graphiquement le coefficient directeur de la tangente au point B.
Si on observe les deux tangentes sur le graphique, il semble que la tangente au point B ait une pente plus importante que celle au point A.
On peut estimer sa pente en procédant ainsi :
On lit que le coefficient directeur de la tangente en B est proche de :
\dfrac{300}{15}=20
Le coût marginal est plus important pour 5 000 unités que pour 4 000 unités produites.