On lance une balle verticalement à partir d'une hauteur de 1 mètre. Sa trajectoire reste verticale jusqu'à ce qu'elle touche le sol.
La fonction h modélise la hauteur de la balle, en mètres, en fonction du temps t, en secondes, écoulé après le lancer. On admet que h est dérivable en 0 et en 2.
La représentation de la fonction h et des tangentes à sa courbe aux points d'abscisses 0 et 2 est donnée ci-dessous.
Que vaut h'(0) le nombre dérivé de la fonction h en 0 ?
Le nombre dérivé de la fonction h en 0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction h au point d'abscisse 0.
Sur le graphique, cette tangente est la droite (AB).
On détermine graphiquement son coefficient directeur : entre le point A et B, les abscisses augmentent de 0,4 et les ordonnées augmentent de 4.
On en déduit que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction h au point A d'abscisse 0 est :
\dfrac{4}{0{,}4} =10
Le nombre dérivé de h en 0 est h'(0)=10.
Comment peut-on interpréter h'(0) ?
La fonction h représente la hauteur de la balle, en mètres, en fonction du temps t en secondes, mesuré après le lancer.
La balle a une trajectoire verticale donc rectiligne.
On sait que, dans ce cas, la dérivée de la fonction h représente la vitesse instantanée du ballon, associée au signe positif si la balle est en montée, et au signe négatif si la balle est en descente.
On a h'(0)=10.
On en déduit que la vitesse instantanée de la balle à t=0, au moment du lancer, est 10 \text{ m/s}.
La vitesse instantanée de la balle à t=0, au moment du lancer, est 10 \text{ m/s}.
Que vaut h'(2) le nombre dérivé de la fonction h en 2 ?
Le nombre dérivé de la fonction h en 2 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction h au point d'abscisse 2.
Sur le graphique, cette tangente est la droite (CD).
On détermine graphiquement son coefficient directeur : entre le point D et le point C, les abscisses augmentent de 0,4 et les ordonnées diminuent de 4.
On en déduit que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de h au point C d'abscisse 2 est :
\dfrac{-4}{0{,}4} =-10
Le nombre dérivé de h en 2 est h'(2)=-10.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
La fonction h représente la hauteur de la balle en fonction du temps t mesuré après le lancer. La balle a une trajectoire verticale, donc rectiligne.
On sait que, dans ce cas, la dérivée de la fonction h représente la vitesse instantanée de la balle, associée au signe positif si la balle est en montée, et au signe négatif si la balle est en descente.
- D'une part, on a h'(0)=10. On en déduit que la vitesse instantanée de la balle à t=0, au moment du lancer, est 10 \text{ m/s}.
- D'autre part, on a h'(2)=-10. On en déduit que la vitesse instantanée de la balle à l'instant t= 2 \text{ s} est également 10 \text{ m/s}.
À l'instant t=2\text{ s}, la balle a la même vitesse instantanée que lorsqu'elle a été lancée.
À quel instant la vitesse instantanée de la balle semble-t-elle nulle ?
On sait que la dérivée de la fonction h représente la vitesse instantanée du ballon.
Ainsi, cette vitesse est nulle à un instant t si et seulement si le nombre dérivé de h en t est égal à 0.
Graphiquement, cela se produit lorsque la tangente à la courbe représentant h a un coefficient directeur nul ; donc lorsqu'elle est horizontale.
Si on observe le graphe, on s'aperçoit que cela semble le cas lorsque la balle est au sommet de la trajectoire.
La vitesse instantanée de la balle semble nulle 1 seconde après le lancer.