On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3x^{3}-5x^{2}+2 et représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est dérivable en 1, et que le nombre dérivé en 1 est f'(1)=-1.
Quelle est la représentation correcte de la courbe de la fonction f et de sa tangente au point d'abscisse 1 ?
On sait que :
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
On en déduit que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est la droite :
- de coefficient directeur f'(1)=-1 ;
- passant par le point de coordonnées (1;f(1)).
Or :
f(1)=3 \times 1^{3}-5 \times 1^{2} + 2
f(1)=3-5 + 2 =0
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est donc la droite qui passe par le point de coordonnées (1; 0) et de coefficient directeur -1.
La seule représentation correcte de la courbe de f et de sa tangente au point d'abscisse 1 est donc :
On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=\dfrac{4}{x^{2}+2} et représentée ci-dessous.
On admet que la fonction g est dérivable en 0, et que le nombre dérivé en 0 est g'(0)=0.
Quelle est la représentation correcte de la courbe de la fonction g et de sa tangente au point d'abscisse 0 ?
On sait que :
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
On en déduit que la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est la droite :
- de coefficient directeur g'(0)=0 ;
- passant par le point de coordonnées (0\ ;\ g(0)).
Or :
g(0)=\dfrac{4}{0^2+2} =2
La tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est donc la droite qui passe par le point de coordonnées (0; 2) et de coefficient directeur 0.
La tangente a un coefficient directeur égal à 0 donc c'est la droite horizontale d'équation y=2.
La seule représentation correcte de la courbe de g et de sa tangente au point d'abscisse 0 est donc :
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=4x^{2}-4x+1 et représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est dérivable en 1, et que le nombre dérivé en 1 est f'(1)=4.
Quelle est la représentation correcte de la courbe de la fonction f et de sa tangente au point d'abscisse 1 ?
On sait que :
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
On en déduit que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est la droite :
- de coefficient directeur f'(1)=4 ;
- passant par le point de coordonnées (1;f(1)).
Or :
f(1)=4 \times 1^{2}-4 +1
f(1)=1
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est donc la droite qui passe par le point de coordonnées (1; 1) et de coefficient directeur 4.
Parmi les propositions, une droite passe par le point de coordonnées (1; 1) et son coefficient directeur est \dfrac{0{,}8}{0{,}2}=4.
La seule représentation correcte de la courbe de f et de sa tangente au point d'abscisse 1 est donc :
On considère la fonction g définie sur ]-\infty ; 0[ par g(x)=1+\dfrac{3}{x} et représentée ci-dessous.
On admet que la fonction g est dérivable en (-1), et que le nombre dérivé en (-1) est g'(-1)=-3.
Quelle est la représentation correcte de la courbe de la fonction g et de sa tangente au point d'abscisse (-1) ?
On sait que :
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
On en déduit que la tangente à la courbe de g au point d'abscisse (-1) est la droite :
- de coefficient directeur g'(-1)=-3 ;
- passant par le point de coordonnées (-1;g(-1)).
Or :
g(-1)=1+\dfrac{3}{-1}
g(-1)=-2
La tangente à la courbe de g au point d'abscisse (-1) est donc la droite qui passe par le point de coordonnées (-1; -2) et de coefficient directeur -3.
Parmi les propositions, une droite passe par le point de coordonnées (1; -2) et son coefficient directeur est \dfrac{-1{,}5}{0{,}5}=-3.
La seule représentation correcte de la courbe de g et de sa tangente au point d'abscisse (-1) est donc :
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1 et représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est dérivable en 0, et que le nombre dérivé en 0 est f'(0)=1.
Quelle est la représentation correcte de la courbe de la fonction f et de sa tangente au point d'abscisse 0 ?
On sait que :
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite :
- de coefficient directeur f′(a) ;
- passant par le point de coordonnées (a;f(a)).
On en déduit que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est la droite :
- de coefficient directeur f'(0)=1 ;
- passant par le point de coordonnées (0;f(0)).
Or :
f0)=0^{3}-0^{2} + 0-1=-1
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est donc la droite qui passe par le point de coordonnées (0;-1) et de coefficient directeur 1.
La seule représentation correcte de la courbe de f et de sa tangente au point d'abscisse 0 est donc :
