Définition d'une intégrale
La notion d'intégrale d'une fonction est une notion d'analyse très utile, y compris en dehors du champ des mathématiques. Elle est notamment liée au calcul d'aire de surface. Elle permet de calculer des aires de surface pour lesquelles les formules usuelles ne sont d'aucun secours.
Aire sous la courbe d'une fonction positive
Soit f une fonction continue et positive, définie sur un intervalle [a;b].
On appelle aire sous la courbe de f sur [a;b] l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, les droites d'équation x=a et x=b.
Soit f la fonction définie sur [-1;4] par f(x)=\dfrac{3}{4}x+2.
Comme restriction d'une fonction affine à l'intervalle [-1;4], f est continue.
De plus f est strictement croissante et f(-1)=\dfrac{-3}{4}+2=\dfrac{5}{4}>0.
Donc f est positive sur [-1;4].
L'aire sous la courbe de f sur [-1;4] est l'aire, en unités d'aire, du trapèze correspondant à la zone grisée.
L'aire sous la courbe de f est donc :
\dfrac{(1{,}25+5)\times 5}{2}
soit 15,625 unités d'aire.
Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b]
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
On appelle intégrale de f entre a et b l'aire, en unités d'aire, sous la courbe de f sur [a;b].
On note \int_{a}^{b}f(x)\text{d} x l'intégrale de f entre a et b.
Soit f la fonction définie sur [-1;4] par f(x)=\dfrac{3}{4}x+2.
La fonction f est positive et continue sur \mathbb{R}.
L'aire sous la courbe de f entre sur [-1;4] est l'intégrale de f entre -1 et 4 :
L'intégrale de f entre -1 et 4 est donc égale à :
\int_{-1}^{4} f(x) \ \mathrm dx=15{,}625 unités d'aire
- Le symbole \int_{}^{} ressemble à un S et se dit « intégrale » ou « somme ».
- La variable x est dite « muette ». On peut donc la remplacer par n'importe quel autre nom. Ainsi \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} f(t) \ \mathrm dt.
- La notation « \text{d}x » ou « \text{d}t » indique quelle variable varie entre a et b ; ce n'est ni un nombre ni une fonction.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
Soient c et d appartenant à [a;b].
On a :
- \int_{c}^{c} f(x) \ \mathrm dx = 0
- \int_{c}^{d} f(x) \ \mathrm dx=-\int_{d}^{c} f(x) \ \mathrm dx
- Si c \lt d alors \int_{c}^{d} f(x) \ \mathrm dx \geqslant 0
Relation de Chasles
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et soient a, b et c trois réels de I.
Alors :
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x+\int_{b}^{c}f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2.
f est continue sur \mathbb{R}, donc :
\int_{-1}^{1}f(x)\text{d}x=\int_{-1}^{0}f(x)\text{d}x+\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x
Soit \int_{-1}^{1}x^2\text{d}x=\int_{-1}^{0}x^2\text{d}x+\int_{0}^{1}x^2\text{d}x.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a, b et c trois réels de I.
Si f(x)\geq 0 sur I et si a\leq b\leq c, alors la relation de Chasles traduit l'additivité des aires.
On a :
\int_{a}^{b}f(x) \text{d}x =\mathcal{A}_{1}
\int_{b}^{c}f(x) \text{d}x =\mathcal{A}_{2}
Et \mathcal{A}_{1}+\mathcal{A}_{2} = \int_{a}^{b}f(x) \text{d}x+\int_{b}^{c}f(x) \text{d}x , ce qui d'après la relation de Chasles est bien \int_{a}^{c}f(x) \text{d}x l'aire sous la courbe de f entre a et c.
Valeur moyenne d'une fonction
Le calcul intégral permet de définir la notion de valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, très proche intuitivement de la notion de moyenne d'une série statistique.
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b]
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a;b] le nombre défini par :
\mu=\dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x) \text{d}x
Soit f la fonction définie sur [-1;4] par f(x)=\dfrac{3}{4}x+2.
f est continue et elle est positive sur [-1;4].
On a calculé précédemment \int_{-1}^{4}f(x) \text{d}x=15{,}625.
La valeur moyenne de f sur l'intervalle [1;4] est donc :
\mu=\dfrac{1}{4-(-1)} \int_{-1}^{4}f(x) \text{d}x=\dfrac{1}{5}\times15{,}625=3{,}125
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Soit \mu la valeur moyenne de f sur l'intervalle [a;b].
On a donc :
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\mu\times (b-a)
Si f est positive sur [a;b], le rectangle de dimensions \mu et b-a a pour aire :
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x unités d'aire
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a;b] est comprise entre le minimum et le maximum atteints par f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur [-2;1] par f(x)=x^2+1.
f est une fonction polynomiale donc elle est continue sur [-2;1] ; de plus, f est positive sur cet intervalle.
Le minimum de la fonction f sur [-2;1] est m=1 atteint en 0.
Le maximum de la fonction f sur [-2;1] est M=5 atteint en -2.
L'aire sous la courbe de f entre -2 et 1 est comprise entre l'aire du rectangle de dimensions 3 et m=1 ; et l'aire du rectangle de dimensions 3 et M=5.
On a donc :
3m\leqslant \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx \leqslant 3M
D'où m\leqslant \dfrac{1}{3}\int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx \leqslant M.
Or la valeur moyenne de f sur [-2;1] est \mu=\dfrac{1}{3}\int_{-2}^{1} (x^{2}+1) \ \mathrm dx.
On a bien :
m\leqslant\mu\leqslant M
La méthode des rectangles
Dans de nombreux cas, il est impossible de déterminer l'aire sous la courbe d'une fonction continue positive de façon exacte. On détermine donc uniquement une valeur approchée. Différentes méthodes sont utilisables parmi lesquelles la méthode des rectangles.
La méthode des rectangles consiste à découper l'intervalle [a;b] utilisé pour \int_{a}^{b}f(x)\text{d}x en plusieurs sous-intervalles, et à encadrer l'aire sous la courbe de f sur chacun des sous-intervalles par l'aire de deux rectangles : l'un situé sous la courbe et l'autre qui contient l'aire sous la courbe de la fonction sur ce sous-intervalle.
L'aire sous la courbe de f sur [a;b] sera ainsi comprise entre la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et la somme des aires des rectangles situés au-dessus de la courbe.
Méthode des rectangles
Soit f une fonction continue, croissante et positive sur [a;b].
Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
On découpe l'intervalle [a;b] en n intervalles d'amplitude l=\dfrac{b-a}{n}.
On note x_{0}=a ; x_{1}=a+l ; x_{2}=a+2l ; ... x_{n-1}=a+(n-1)l ; x_{n}=b, les bornes des sous-intervalles consécutifs de [a;b].
On considère sur chaque intervalle [x_{k} ; x_{k+1}] :
- le rectangle de largeur l=\dfrac{b-a}{n} et de hauteur f(x_{k}), situé sous la courbe ;
-
et le rectangle de largeur l=\dfrac{b-a}{n} et de hauteur f(x_{k+1}), contenant l'aire sous la courbe sur cet intervalle.
![Encadrement de l'intégrale de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{[a;b]}\) par la méthode des rectangles](https://media-image.kartable.fr/uploads/finalImages/final_677ffe23e6daf7.06019493.png?format=webp)
Encadrement de l'intégrale de f sur [a;b] par la méthode des rectangles
Pour tout entier k compris entre 0 et n-1, l'aire sous la courbe de f sur l'intervalle [x_{k} ; x_{k+1}] est comprise entre l'aire du premier rectangle et celle du deuxième :
l\times f(x_{k})\leqslant\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \ \mathrm dx\leqslant l\times f(x_{k+1})
En faisant la somme de ces encadrements pour k allant de 0 à n-1, on obtient pour la somme des \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \ \mathrm dx :
\int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x) \ \mathrm dx +\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \ \mathrm dx+...+\int_{x_{n-2}}^{x_{n-1}} f(x) \ \mathrm dx+\int_{x_{n-1}}^{x_{n}} f(x) \ \mathrm dx=\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) \ \mathrm dx d'après la relation de Chasles.
Le terme central de l'encadrement est donc \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx.
Et pour l'encadrement final :
l\times \left[ f(x_{0})+f(x_{1})+...f(x_{n-1}) \right]\leqslant \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx \leqslant l\times \left[ f(x_{1})+f(x_{2})+...f(x_{n}) \right]
L'aire sous la courbe est encadrée par la somme s_{n}=l\times \left[ f(x_{0})+f(x_{1})+...f(x_{n-1}) \right] des aires des « petits » rectangles et la somme S_{n}= l\times \left[ f(x_{1})+f(x_{2})+...f(x_{n}) \right] des aires des « grands » rectangles.
De plus, on a :
S_{n}-s_{n}= l\times \left[ f(x_{1})+f(x_{2})+...f(x_{n}) \right]-l\times \left[ f(x_{0})+f(x_{1})+...f(x_{n-1}) \right]
S_{n}-s_{n}=l \times (f(x_{n})-f(x_{0}))
S_{n}-s_{n}=\dfrac{b-a}{n}\times[f(b)-f(a)]
On sait que \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0.
Ainsi, plus la valeur de n augmente, plus la différence S_{n}-s_{n} est proche de 0 et plus l'encadrement de \int_{a}^{b} f(x) \ \mathrm dx est précis.
La fonction définie sur [0;2] par f(x)=x^2+1 est continue, positive et croissante sur cet intervalle.
On cherche une valeur approchée de \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx par la méthode des rectangles.
On découpe [0;2] en 10 sous-intervalles d'amplitude \dfrac{2}{10} soit 0{,}2.
On note x_{k}=0+k\times \dfrac{2}{10} pour tout entier k compris entre 0 et 10 : x_{k}=0{,}2k.
![Encadrement de \(\displaystyle{\int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx}\) en subdivisant \(\displaystyle{[0;2]}\) en 10 sous-intervalles d'amplitude \(\displaystyle{0{,}2}\)](https://media-image.kartable.fr/uploads/finalImages/final_678005c31a6031.85536158.png?format=webp)
Encadrement de \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx en subdivisant [0;2] en 10 sous-intervalles d'amplitude 0{,}2
On a l'encadrement :
0{,}2\times \left[ f(x_{0})+f(x_{1})+...f(x_{9}) \right]\leqslant \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx \leqslant 0{,}2\times \left[ f(x_{1})+f(x_{2})+...f(x_{10}) \right]
Soit :
0{,}2\times \left[ f(0)+f(0{,}2)+...+f(1{,}8) \right]\leqslant \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx \leqslant0{,}2\times \left[ f(0{,}2)+f(0{,}4)+...+f(2) \right]
0{,}2\times \left[ 1+(0{,}2)^{2}+1+...+(1{,}8) ^{2}+1\right]\leqslant \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx \leqslant 0{,}2\times \left[ (0{,}2)^{2}+1+...+2 ^{2}+1\right]
On obtient avec la calculatrice :
4{,}28\leqslant \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx \leqslant 5{,}08
Ainsi l'aire sous la courbe de f sur l'intervalle [0;2] est comprise entre 4{,}28 et 5{,}08 unités d'aire.
En utilisant un algorithme, on peut choisir le nombre n des sous-intervalles de manière à obtenir un encadrement avec une précision donnée.
Par exemple, si on veut un encadrement de \int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx avec une précision au centième, l'algorithme écrit en Python ci-dessous donnera :
4{,}66\leqslant\int_{0}^{2} (x^2+1) \ \mathrm dx\leqslant 4{,}67 avec n=800
Lorsque la fonction f est continue, positive et décroissante sur [a;b], les inégalités dans l'encadrement par la méthode des rectangles sont inversées.
Intégrales et primitives
La notion d'intégrale possède un lien avec les primitives des fonctions qui permettent de calculer de façon exacte de nombreuses intégrales.
Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Lien entre intégrale et primitive
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
La fonction F_a définie sur [a;b] par F_a(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t est dérivable sur [a;b] et sa dérivée est f.
Autrement dit :
Une primitive de f sur [a;b] est la fonction F_a définie sur [a;b] par F_a(x)=\int_{a}^{x}f(t)\text{d}t.
On va démontrer le résultat dans le cas où f est croissante et positive sur [a;b].
On admettra le résultat dans le cas général.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
Soient x_0 et h deux réels tels que x_0\in [a;b] et x_0+h\in [a;b].
- Si h>0 :
\dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}=\dfrac{1}{h}\left(\int_{a}^{x_0+h}f(t)\text{d}t-\int_{a}^{x_0}f(t)\text{d}t\right)
D'après la relation de Chasles, \int_{a}^{x_0+h}f(t)\text{d}t-\int_{a}^{x_0}f(t)\text{d}t=\int_{a}^{x_{0}} f(t) \ \mathrm dt+\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t) \ \mathrm dt-\int_{a}^{x_{0}} f(t) \ \mathrm dt.
Donc, \int_{a}^{x_{0}+h} f(t) \ \mathrm dt-\int_{a}^{x_{0}} f(t) \ \mathrm dt=\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t) \ \mathrm dt.
Comme h>0, \int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f(t) \ \mathrm dt correspond à l'aire sous la courbe de f entre x_0 et x_0+h.
Comme f est croissante, l'aire précédente est comprise entre l'aire du rectangle de dimensions f(x_0) et h et l'aire du rectangle de dimensions f(x_0+h) et h.
On a donc :
f(x_0)\times h\leq \int_{a}^{x_0+h}f(t)\text{d}t-\int_{a}^{x_0}f(t)\text{d}t\leq f(x_0+h)\times h
En divisant par h, on en déduit :
f(x_0)\leq \dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}\leq f(x_0+h)
- Si h<0, on a toujours :
\dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}=\dfrac{1}{h}\left(\int_{a}^{x_0+h}f(t)\text{d}t-\int_{a}^{x_0}f(t)\text{d}t\right)
Un raisonnement analogue au cas h \gt 0 conduit à l'encadrement :
f(x_0+h)\leq \dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}\leq f(x_0)
- Fin du raisonnement :
Comme f est continue, on a :
\lim\limits_{h\to 0}f(x_0+h)=f(x_0)
Ainsi que h<0 ou h>0, on en déduit :
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h}=f(x_0)
La fonction F_a est donc bien dérivable en x_0 et F_a'(x_0)=f(x_0).
Ceci étant valable quel que soit x_0\in [a;b], F_a est bien dérivable sur [a;b] et F'_a(x)=f(x) pour tout réel x appartenant à [a;b].
Soit f la fonction définie sur [-10;10] par f(x)=x^2.
La fonction f est bien continue et positive sur [-10;10].
La fonction F définie sur [-10;10] par F(x)=\int_{-10}^{x}f(t)\text{d}t est donc une primitive de f sur [-10;10].
On a F(x)=\int_{-10}^{-10}f(t)\text{d}t=0 donc on a prouvé que F est LA primitive de f sur [-10;10] qui s'annule en (-10).
Or la primitive de f sur l'intervalle [-10;10] qui s'annule en -10 est la fonction x\mapsto \dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{\text{1 000}}{3}.
On a donc, pour tout réel x\in[-10;10] :
\int_{-10}^{x}t^2\text{d}t=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{\text{1 000}}{3}
Soit f la fonction définie sur [1; 2] par f(x)=\dfrac{1}{x}\ln\left(x\right).
Cette fonction est continue et positive sur [1; 2] comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle.
La fonction F définie sur [1;2] par F(x)=\int_{1}^{x}f(t)\text{d}t est donc une primitive de f sur [1;2].
De plus, F(x)=\int_{1}^{1}f(t)\text{d}t=0 donc F est LA primitive de f qui s'annule en 1.
Or f(x)=\dfrac{1}{x}\ln\left(x\right) est de la forme u'u où u est la fonction \ln.
On en déduit que les primitives de f sont de la forme \dfrac{1}{2}u^2 : les primitives de f sont de la forme x\longmapsto \dfrac{1}{2}(\ln\left(x\right))^2+k.
La primitive de f qui s'annule en 1 est donc F(x)=\int_{1}^{x}f(t)\text{d}t=\dfrac{1}{2}(\ln\left(x\right))^2.
Intégrale d'une fonction continue
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, de signe quelconque.
Soient a et b deux réels de I.
On appelle intégrale de f entre a et b, le nombre noté \int_{a}^{b}f(x)\text{d}x égal à F(b)-F(a), où F est une primitive de f sur I.
On note :
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\left[ F(x) \right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)
Soit f la fonction définie sur [-10;10] par f(x)=x^2.
La fonction f est bien continue sur [-10;10].
La fonction F définie sur [-10;10] par F(x)=\dfrac{1}{3}x^3 est une primitive de f sur [-10;10].
On en déduit :
\int_{-10}^{10}t^2\text{d}t=\left[ F(x) \right]_{-10}^{10}=F(10)-F(-10)
Soit \int_{-10}^{10}t^2\text{d}t=\dfrac{\text{1 000}}{3}-\left(\dfrac{-\text{1 000}}{3}\right), c'est-à-dire \int_{-10}^{10}t^2\text{d}t=\dfrac{\text{2 000}}{3}.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I.
Le réel F(b)-F(a) ne dépend pas de la primitive F de f sur I.
Les propriétés algébriques des intégrales
Le calcul intégral possède de nombreuses propriétés algébriques qui découlent parfois des propriétés sur les primitives et permettent de découper en tâches simples le calcul de l'intégrale d'une fonction dont l'expression peut être complexe.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I.
Alors :
\int_{a}^{b}(f+g)(x)\text{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x+\int_{a}^{b}g(x)\text{d}x
Soit h la fonction définie sur [1 ;+\infty[ par h(t)=\dfrac{1+t}{t^{2}}.
La fonction h est une fonction continue sur [1 ;+\infty[ donc sur [1;e].
On veut calculer \int_{1}^{e} \dfrac{1+t}{t^{2}} \ \mathrm dt.
Les primitives de h ne sont pas faciles à trouver si l'on garde l'écriture h(t)=\dfrac{1+t}{t^{2}}.
On a, pour tout réel t appartenant à [1;e] :
h(t)=\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{t}{t^{2}}=\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t}
Les fonctions f: t\longmapsto \dfrac{1}{t^{2}} et g: t\longmapsto \dfrac{1}{t} sont continues sur [1;e].
On a donc :
\int_{1}^{e}h(t)\text{d}t=\int_{1}^{e}f(t)\text{dt}+\int_{1}^{e}g(t)\text{d}t
Une primitive de la fonction f sur est F(t)=-\dfrac{1}{t} ; une primitive de la fonction g sur [1;e] est G(t)=\ln\left(t\right).
Ainsi :
\int_{1}^{e}h(t)\text{d}t=\left[ F(t) \right]_{1}^{e}+\left[ G(t) \right]_{1}^{e}=\left[- \dfrac{1}{t} \right]_{1}^{e}+\left[ \ln\left(t\right)\right]_{1}^{e}
On a donc :
\int_{1}^{e}h(t)\text{d}t=\left[- \dfrac{1}{e}+1 \right]+\left[ \ln\left(e\right)-\ln\left(1\right)\right]
Soit :
\int_{1}^{e} \dfrac{1+t}{t^{2}} \ \mathrm dt = 2-\dfrac{1}{e}
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
a et b sont deux réels de I et \lambda est un réel quelconque.
Alors :
\int_{a}^{b}\lambda f(x)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f(x)\text{d}x
La fonction linéaire x\longmapsto x est continue sur \mathbb{R}.
On a, pour tous réels a et b :
\int_{a}^{b} 3x \ \mathrm dx=3\int_{a}^{b} x\ \mathrm dx=3\left[ \dfrac{x^{2}}{2} \right]_{a}^{b}=3(\dfrac{b^{2}}{2}-\dfrac{a^{2}}{2})
La relation de Chasles, vue pour les fonctions continues et positives sur un intervalle, est vraie pour toutes les fonctions continues.
Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a, b et c trois réels de I.
Alors :
\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x+\int_{b}^{c}f(x)\text{d}x=\int_{a}^{c}f(x)\text{d}x
\int_{-1}^{0} (-x^{3}) \ \mathrm dx+\int_{0}^{3} (-x^{3}) \ \mathrm dx=\int_{-1}^{3} (-x^{3}) \ \mathrm dx
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a<b.
Si f(x)\leq g(x) sur [a;b], alors :
\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leq \int_{a}^{b}g(x) \text{d}x
Pour tout réel x\in [0;1], on a x^2\leq x.
Les fonctions x\mapsto x^2 et x\mapsto x étant continues sur \mathbb{R}, on en déduit :
\int_{0}^{1}x^2\text{d}x\leq \int_{0}^{1}x\text{d}x
Application du calcul intégral : calcul d'aires
Une application importante du calcul intégral est le calcul d'aire de surface. Dès lors que l'on est capable de modéliser le contour d'une surface par la courbe d'une ou de plusieurs fonctions mathématiques, le calcul intégral permet de déterminer l'aire de la surface.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] telles que f(x)\leq g(x) sur [a;b].
L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, la courbe de g et les droites d'équations x=a et x=b est :
\mathcal{A}=\int_{a}^{b}(g(x)-f(x))\text{d}x
Soit f la fonction exponentielle.
Comme cette fonction est convexe, sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.
En particulier, la courbe de f est au-dessus de sa tangente, T au point d'abscisse 0, c'est-à-dire le point A(0;1).
Une équation de cette tangente est :
y=f'(0)(x-0)+f(0)
Comme f'(x)=f(x) pour tout réel x, on obtient comme équation :
y=x+1
Ainsi, pour tout réel x, on a :
\text{e}^x\geq x+1
Ainsi, l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, la droite T et les droites d'équations x=0 et x=1 est :
\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left(\text{e}^x-(x+1)\right)\text{d}x
\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left(\text{e}^x-x-1\right)\text{d}x
\mathcal{A}=\left[\text{e}^x-\dfrac{x^2}{2}-x\right]_{0}^{1}
\mathcal{A}=\left[\text{e}-\dfrac{1}{2}-1-\left(\text{e}^0-\dfrac{0^2}{2}-0\right)\right]
\mathcal{A}=\text{e}-\dfrac{5}{2}
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b].
L'aire, unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b est :
\mathcal{A}=-\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x
La fonction cube est négative sur [-2;0], donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de la fonction cube, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-2 et x=0 est :
\mathcal{A}=-\int_{-2}^{0}x^{3}\text{d}x \\ \mathcal{A}=-\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-2}^{0} \\ \mathcal{A}=-\left[ \dfrac{0^{4}}{4}-\dfrac{(-2)^{4}}{4} \right]\\ \\\mathcal{A}=4
