Les lois de probabilités discrètes Cours

Sommaire

ILes probabilités conditionnellesAConditionnementBIndépendanceCLa formule des probabilités totalesIILes lois de probabilité discrètesALes variables aléatoiresBLa loi de BernoulliCLa loi binomiale
I

Les probabilités conditionnelles

Dans toute cette partie, on considère un univers probabilisé \Omega.

A

Conditionnement

Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle. On définit la probabilité conditionnelle de B sachant que l'événement A est réalisé par :

p_{A}\left(B\right) =\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}

Si p\left(A\cap B\right)=0,25 et p\left(A\right)=0,75 alors :

p_A\left(B\right)=\dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac13

B

Indépendance

Evénements indépendants

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)

Considérons deux événements A et B tels que p\left(A\right)=0,7 et p\left(B\right)=0,6. On sait de plus que p\left(A\cap B\right)=0,42. On a :

p\left(A\right)\times p\left(B\right)=0,7\times 0,6=0,42=p\left(A\cap B\right)

Les événements A et B sont donc indépendants.

Conditions d'indépendance de deux événements

Soient A et B deux événements indépendants de probabilités non nulles. On a :

  • p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)
  • p_{A}\left(B\right) = p\left(B\right)
  • p_{B}\left(A\right) = p\left(A\right)
C

La formule des probabilités totales

Partition

Soit un ensemble \Omega. Les événements de probabilités non nulles \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} forment un système complet ou une partition de \Omega si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

  • E_{i} \subset \Omega pour tout entier i compris entre 1 et k
  • Les événements E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k} sont deux à deux incompatibles
  • Leur réunion est égale à l'ensemble \Omega
-

Formule des probabilités totales

Soit \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} un système complet d'événements de l'univers \Omega. Pour tout événement A :

p\left(A\right) = p\left(A \cap E_{1}\right) + p\left(A \cap E_{2}\right) + p\left(A \cap E_{3}\right) +... + p\left(A \cap E_{k}\right)

En appliquant ensuite la formule des probabilités conditionnelles, on obtient l'expression suivante :

p\left(A\right) = p_{E_1}\left(A \right)p\left(E_1 \right) + p_{E_2}\left(A \right)p\left(E_2 \right)+...+p_{E_k}\left(A \right)p\left(E_k \right)

La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré.

-

Dans cet exemple, les événements B et \overline{B} forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet de calculer p\left(A\right) :

p\left(A\right) = p\left(A \cap B\right) + p\left(A \cap \overline{B}\right)

Soit :

p\left(A\right) = p\left(B\right) \times p_{B}\left(A\right) + p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}\left(A\right)

La formule des probabilités totales revient ainsi à additionner les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A :

p\left(A\right) = 0,8 \times 0,05 + 0,2 \times 0,5

p\left(A\right) = 0,14

II

Les lois de probabilité discrètes

A

Les variables aléatoires

Variable aléatoire

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.

Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}. La loi de probabilité de X associe à chaque réel x_{i} la probabilité p\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right), que l'on peut noter en abrégé p\left(X = x_{i}\right).

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

x_{i} x_{1} x_{2} ... x_{n}
p\left(X = x_{i}\right) p\left(X = x_{1}\right) p\left(X = x_{2}\right) ... p\left(X = x_{n}\right)

Le tableau suivant présente la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :

x_i −2 1 3 5
p\left(X=x_i\right) 0,25 0,10 0,50 0,15

Si X est une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}, alors :

p\left(X = x_{1}\right) + p\left(X = x_{2}\right) +... + p\left(X = x_{n}\right) = 1

En reprenant la loi de probabilité suivante :

x_i −2 1 3 5
p\left(X=x_i\right) 0,25 0,10 0,50 0,15

On vérifie que l'on a bien :

0,25+0,10+0,50+0,15=1

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire X prenant pour valeurs x_0, x_1,..., x_n est le réel :

E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} p\left(X = x_{i}\right)

Soit :

E\left(X\right) = x_{0} p\left(X = x_{0}\right) + x_{1} p\left(X = x_{1}\right) +... + x_{n} p\left(X = x_{n}\right)

En reprenant la loi de probabilité suivante :

x_i −2 1 3 5
p\left(X=x_i\right) 0,25 0,10 0,50 0,15

On peut calculer l'espérance :

E\left(X\right)=-2\times0,25+1\times0,10+3\times0,50+5\times0,15=1,85

B

La loi de Bernoulli

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • Succès, obtenu avec une probabilité p (p étant un réel compris entre 0 et 1)
  • Echec, obtenu avec la probabilité 1 - p

On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès est : "la paire de lunettes choisie est défectueuse", de probabilité p=0,05.

Loi de Bernoulli

Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si :

  • X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
  • p\left(X = 1\right) = p et p\left(X = 0\right) = 1 - p

On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses. X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la paire de lunettes choisie est défectueuse, et qui prend la valeur 0 sinon.

On a bien :

  • X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
  • p\left(X = 1\right) = 0,05 et p\left(X = 0\right) = 0,95

Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05.

Espérance d'une loi de Bernoulli

Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :

E\left(X\right) = p

Soit une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,05. On a :

E\left(X\right)=0,05

C

La loi binomiale

Loi binomiale

On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. Notons n le nombre de répétitions et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque réalisation du schéma de Bernoulli associe le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée B\left(n;p\right).

On choisit successivement, de manière aléatoire et indépendante, 10 paires de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.

Cela constitue la répétition de n=10 épreuves de Bernoulli dont le succès est : "les lunettes choisies sont défectueuses", de probabilité p=0,05.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de lunettes défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,05.

Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

  • X\left(\Omega\right)=\left\{ 0;1;2;...;n \right\}
  • Pour tout entier k appartenant à X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}

Le coefficient \dbinom{n}{k}, égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions, est appelé coefficient binomial.

En reprenant l'exemple précédent, on peut calculer :

P\left(X=2\right)=\binom{10}{2}\times 0,05^2\times0,95^8\approx0,0746

Espérance d'une loi binomiale

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

E\left(X\right) = np

Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,05, alors :

E\left(X\right)=10\times0,05=0,5