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  4. Méthode : Montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale

Montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale Méthode

Sommaire

1Identifier une épreuve de Bernoulli 2Expliquer la répétition de l'expérience 3Donner le rôle de X 4Conclure que X suit une loi binomiale

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (répétition un nombre fini de fois de façon indépendante d'une même épreuve de Bernoulli).

Afin de démontrer qu'une variable X suit une loi binomiale, il convient de respecter scrupuleusement les étapes suivantes.

Dans une usine, 2% des machines fabriquées sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 machines (la production est suffisamment importante pour considérer qu'il s'agit d'un tirage avec remise de 100 machines). On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de machines défectueuses de l'échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Etape 1

Identifier une épreuve de Bernoulli

On identifie une expérience à deux issues possibles :

  • Le succès, obtenu avec une probabilité p que l'on détermine
  • L'échec, obtenu avec la probabilité q=1-p

Il est important de définir ce que l'on appelle le succès.

L'expérience consistant à prélever une machine et constater son état a deux issues possibles :

  • Le succès (la machine est défectueuse), obtenu avec la probabilité p=0{,}02
  • L'échec (la machine n'est pas défectueuse), obtenu avec la probabilité q=1-p=0{,}98

Cette expérience est donc une épreuve de Bernoulli.

Etape 2

Expliquer la répétition de l'expérience

On justifie que l'expérience est répétée un nombre n de fois de manière indépendante.

Comme on considère qu'il s'agit d'un tirage avec remise de 100 machines, cela revient à répéter 100 fois de manière indépendante l'épreuve de Bernoulli précédente.

Etape 3

Donner le rôle de X

On précise que X est une variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans une suite de n expériences de Bernoulli indépendantes de même probabilité de succès p.

X est donc la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans une suite de 100 expériences de Bernoulli indépendantes de même probabilité de succès p=0{,}02.

Etape 4

Conclure que X suit une loi binomiale

On peut alors conclure que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

On a alors :

  • X\left(\Omega\right)=\left\{ 0;1;...;n \right\}
  • \forall k\in X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^{k}q^{n-k}

Ainsi, X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}02.

Voir aussi
  • Cours : La loi binomiale
  • Quiz : La loi binomiale
  • Exercice : Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes
  • Exercice : Représenter une situation modélisable en succession d’épreuves indépendantes par un arbre
  • Exercice : Modéliser une situation par une succession de deux ou trois épreuves quelconques
  • Exercice : Représenter une situation modélisable en succession de deux ou trois épreuves quelconques par un arbre
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant l’indépendance
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant des probabilités conditionnelles
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant la formule des probabilités totales
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une épreuve de Bernoulli
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'un schéma de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer si une situation est une épreuve de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer si une situation suit un schéma de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer le schéma de Bernoulli d'une situation
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la loi binomiale
  • Exercice : Déterminer le loi binomiale correspondant à une situation
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(X = k) d'une loi binomiale
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(X ≤ k) d'une loi binomiale
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(k ≤ X ≤ k’ ) d'une loi binomiale
  • Exercice : Déterminer un intervalle sur lequel P(X) est inférieure à une valeur donnée pour une loi binomiale
  • Exercice : Déterminer un intervalle sur lequel P(X) est supérieure à une valeur donnée pour une loi binomiale
  • Exercice : Démontrer l'expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli
  • Problème : Résoudre un problème de seuil à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Résoudre un problème de comparaison à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Résoudre un problème d’optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Simuler la planche de Galton à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Etudier un problème de la surréservation à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Simuler un échantillon d’une variable aléatoire à l'aide d'un algorithme
  • Méthode : Reconnaître une loi binomiale
  • Méthode : Calculer et interpréter E(X) dans une loi binomiale
  • Méthode : Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale

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