Montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale - TS - Exercice Mathématiques

On lance un dé 10 fois. X est la variable aléatoire donnant le nombre de fois où on a obtenu le numéro 6.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "lancer 10 fois le dé" a deux issues possibles :

Succès : on obtient un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\)
Echec : on n'obtient pas un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{5}{6}}\)

Cette expérience est répétée 10 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=10}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\).

L'expérience "lancer le dé" a deux issues possibles :

Succès : on obtient un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{10}}\)
Echec : on n'obtient pas un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{9}{10}}\)

Cette expérience est répétée 10 fois .

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=10}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{10}}\).

L'expérience "lancer le dé" a deux issues possibles :

Succès : on obtient un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\)
Echec : on n'obtient pas un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{5}{6}}\)

Cette expérience est répétée 10 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=10}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\).

L'expérience "lancer 10 fois dé" a deux issues possibles :

Succès : on obtient un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{5}{6}}\)
Echec : on n'obtient pas un 6, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{1}{6}}\)

Cette expérience est répétée 10 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=10}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{5}{6}}\).

On lance une pièce de monnaie 5 fois. X est la variable aléatoire donnant le nombre de fois où on a obtenu face.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "lancer 5 fois la pièce de monnaie" a deux issues possibles :

Succès : on obtient "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\)
Echec : on n'obtient pas "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{1}{2}}\)

Cette expérience est répétée 5 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=5}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\).

L'expérience "lancer la pièce de monnaie" a deux issues possibles :

Succès : on obtient "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\)
Echec : on n'obtient pas "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{5}{6}}\)

Cette expérience est répétée 2 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=2}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{6}}\).

L'expérience "lancer la pièce de monnaie" a deux issues possibles :

Succès : on obtient "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\)
Echec : on n'obtient pas "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{1}{2}}\)

Cette expérience est répétée 5 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=5}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\).

L'expérience "lancer 6 fois la pièce de monnaie" a deux issues possibles :

Succès : on obtient "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\)
Echec : on n'obtient pas "face", obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{1}{2}}\)

Cette expérience est répétée 6 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=6}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{2}}\).

Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 8 questions. Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées dont une seule correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du QCM. On note le nombre de réponses correctes qu'il a données.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "choisir une réponse" a deux issues possibles :

Succès : on choisit la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\)
Echec : on n'obtient pas la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{3}{4}}\)

Cette expérience est répétée 8 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\).

L'expérience "choisir 8 fois une réponse" a deux issues possibles :

Succès : on choisit la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\)
Echec : on n'obtient pas la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{3}{4}}\)

Cette expérience est répétée 8 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\).

L'expérience "choisir 8 fois une réponse" a deux issues possibles :

Succès : on choisit la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\)
Echec : on n'obtient pas la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{3}{4}}\)

Cette expérience est répétée 8 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\).

L'expérience "choisir une réponse" a deux issues possibles :

Succès : on choisit la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\)
Echec : on n'obtient pas la bonne réponse, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{3}{4}}\)

Cette expérience est répétée 8 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{4}}\).

Une urne contient 4 boules blanches et 8 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 4 boules de l'urne.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "tirer 4 boules" a deux issues possibles :

Succès : on tire une boule blanche, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}\)
Echec : on tire une boule noire, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{2}{3}}\)

Cette expérience est répétée 4 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=4}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{3}}\).

L'expérience "tirer une boule" a deux issues possibles :

Succès : on tire une boule blanche, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}\)
Echec : on tire une boule noire, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{2}{3}}\)

Cette expérience est répétée 4 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=4}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{3}}\).

L'expérience "tirer une boule" a deux issues possibles :

Succès : on tire une boule blanche, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}\)
Echec : on tire une boule noire, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{2}{3}}\)

Cette expérience est répétée 4 fois .

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=4}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{3}}\).

L'expérience "tirer 4 boules" a deux issues possibles :

Succès : on tire une boule blanche, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}\)
Echec : on tire une boule noire, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=\dfrac{2}{3}}\)

Cette expérience est répétée 4 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=4}\) et \(\displaystyle{p=\dfrac{1}{3}}\).

25 personnes participent à un jeu de hasard et la probabilité de gagner à ce jeu est de 0,3. Chaque jeu est indépendant des précédents.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant gagné au jeu.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "gagner au jeu" a deux issues possibles :

Succès : on gagne au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,3}\)
Echec : on ne gagne pas au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,7}\)

Cette expérience est répétée 25 fois .

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=25}\) et \(\displaystyle{p=0,3}\).

L'expérience "gagner 25 fois au jeu" a deux issues possibles :

Succès : on gagne au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,3}\)
Echec : on ne gagne pas au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,7}\)

Cette expérience est répétée 25 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=25}\) et \(\displaystyle{p=0,3}\).

L'expérience "gagner 25 fois au jeu" a deux issues possibles :

Succès : on gagne au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,3}\)
Echec : on ne gagne pas au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,7}\)

Cette expérience est répétée 25 fois .

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=25}\) et \(\displaystyle{p=0,3}\).

L'expérience "gagner au jeu" a deux issues possibles :

Succès : on gagne au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,3}\)
Echec : on ne gagne pas au jeu, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,7}\)

Cette expérience est répétée 25 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=25}\) et \(\displaystyle{p=0,3}\).

Dans une usine, on suppose que la probabilité qu'un sac soit défectueux est égale à 0,02. On prélève au hasard 50 sacs. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 sacs.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de sacs défectueux.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "Piocher 50 sacs" a deux issues possibles :

Succès : Le sac est défectueux, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,02}\)
Echec : Le sac n'est pas défectueux,, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,98}\)

Cette expérience est répétée 50 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=250}\) et \(\displaystyle{p=0,02}\).

L'expérience "Piocher un sac" a deux issues possibles :

Succès : Le sac est défectueux, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,02}\)
Echec : Le sac n'est pas défectueux,, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,98}\)

Cette expérience est répétée 50 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=50}\) et \(\displaystyle{p=0,02}\).

L'expérience "Piocher un sac" a deux issues possibles :

Succès : Le sac est défectueux, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,98}\)
Echec : Le sac n'est pas défectueux,, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,02}\)

Cette expérience est répétée 50 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=50}\) et \(\displaystyle{p=0,98}\).

L'expérience "Piocher 50 sacs " a deux issues possibles :

Succès : Le sac est défectueux, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,02}\)
Echec : Le sac n'est pas défectueux,, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,98}\)

Cette expérience est répétée 50 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=50}\) et \(\displaystyle{p=0,02}\).

Un fabriquant de montres choisit 8 montres au hasard dans son stock. On suppose que le stock de montres est suffisamment important pour assimiler ce choix de 8 montres à un tirage avec remise de 8 montres. On sait que la probabilité pour qu'une montre prise au hasard ait un défaut est 0,03.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de montres ayant un défaut.

Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres ?

L'expérience "Tirer 8 montres" a deux issues possibles :

Succès : La montre présente un défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,03}\)
Echec : La montre ne présente pas de défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,97}\)

Cette expérience est répétée 8 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=0,03}\).

L'expérience "Tirer une montre" a deux issues possibles :

Succès : La montre présente un défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,03}\)
Echec : La montre ne présente pas de défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,97}\)

Cette expérience est répétée 8 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=0,03}\).

L'expérience "Tirer une montre" a deux issues possibles :

Succès : La montre présente un défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,03}\)
Echec : La montre ne présente pas de défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,97}\)

Cette expérience est répétée 8 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=0,03}\).

L'expérience "Tirer 8 montres" a deux issues possibles :

Succès : La montre présente un défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{p=0,03}\)
Echec : La montre ne présente pas de défaut, obtenu avec la probabilité \(\displaystyle{q=1-p=0,97}\)

Cette expérience est répétée 8 fois.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=8}\) et \(\displaystyle{p=0,03}\).

Montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale Exercice

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