Utiliser la formule des probabilités totales Méthode

Sommaire

1Dresser un arbre de probabilités 2Déterminer une partition de l'univers 3Énoncer et développer la formule 4Rappeler les probabilités connues 5Effectuer le calcul

On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements.

Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.

On note :

  • A : "Le composé est de type A."
  • B : "Le composé est de type B."
  • D : "Le composé est défectueux."

Calculer p\left(D\right).

Etape 1

Dresser un arbre de probabilités

On dresse un arbre de probabilités correspondant à la situation. Ici, pour déterminer p\left(F\right) ou p\left(\overline{F}\right), il est nécessaire d'utiliser la formule des probabilités totales car la réalisation de F (ou de \overline{F} ) dépend de la réalisation de A, B ou C.

-

L'énoncé donne les probabilités suivantes :

  • p\left(A\right)=0,8
  • p\left(B\right)=0,2
  • p_{A}\left(D\right)=0,01
  • p_{B}\left(D\right)=0,05

On obtient donc l'arbre de probabilités suivant :

-
Etape 2

Déterminer une partition de l'univers

Les événements des branches issues de l'origine de l'arbre forment une partition de l'univers.

A et B forment ici une partition de l'univers.

Etape 3

Énoncer et développer la formule

On applique la formule des probabilités totales avec la partition de l'univers déterminée à l'étape précédente :

p\left(F\right)=p\left(F\cap A\right)+p\left(F\cap B\right)+p\left(F\cap C\right)

On applique ensuite la formule des probabilités conditionnelles :

p\left(F\right)=p_{A}\left(F\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(F\right)\times p\left(B\right)+p_{C}\left(F\right)\times p\left(C\right)

D'après la formule des probabilités totales, on a donc :

p\left(D\right)=p\left(D\cap A\right)+p\left(D\cap B\right)

Soit, d'après la formule des probabilités conditionnelles :

p\left(D\right)=p_{A}\left(D\right)\times p\left(A\right)+p_{B}\left(D\right)\times p\left(B\right)

Etape 4

Rappeler les probabilités connues

On rappelle la valeur des probabilités impliquées dans la formule déterminée à l'étape précédente. Ces probabilités sont données par l'énoncé ou lisibles sur l'arbre de probabilités.

Or, on sait que :

  • p\left(A\right)=0,8
  • p\left(B\right)=0,2
  • p_{A}\left(D\right)=0,01
  • p_{B}\left(D\right)=0,05
Etape 5

Effectuer le calcul

On remplace les probabilités par leurs valeurs dans la formule et on effectue le calcul.

Finalement :

p\left(D\right)=0,01\times0,8+0,05\times0,2

p\left(D\right)=0,008+0,01=0,018