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  4. Cours : Les puissances et la racine carrée

Les puissances et la racine carrée Cours

Sommaire

ILes puissances d'exposant positifADéfinition d'une puissanceBLes propriétés des puissances de base quelconqueIIL'inverse d'un nombreADéfinition de l'inverse d'un nombreBLes inverses d'un nombre non nul et d'une fractionCLa multiplication d'un nombre par son inverseIIILes puissances d'exposant négatifADéfinition d'une puissance d'exposant négatifBLes puissances d'exposant négatif et l'inverse d'un nombreCLes formules algébriques sur les puissancesIVLa racine carrée et les carrés parfaitsALes carrés parfaitsBLa racine carrée1Définition d'une racine carrée2Les racines carrées d'un nombre positif et d'un nombre négatif
I

Les puissances d'exposant positif

Quand on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, on peut noter le résultat sous la forme d'une puissance. Ces puissances possèdent des propriétés particulières.

A

Définition d'une puissance

Soit un nombre a. Si on le multiplie n fois par lui-même, on peut écrire le résultat sous la forme a^n.

Puissance

Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 1. On désigne par a^{n} la puissance n du nombre a, telle que :
a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}

  • L'entier n est appelé l'« exposant ».
  • a^{n} se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
  • a^{n} est appelé « puissance n-ième de a ».

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

B

Les propriétés des puissances de base quelconque

Soit un nombre x=a^n, il existe des propriétés particulières quand a ou n est égal à 0 ou 1.

Soit a un nombre non nul :

a^{0} = 1

13^0=1

Pour tout entier n :

1^n=1

Pour tout entier non nul n :

0^n=0

II

L'inverse d'un nombre

Quand on multiplie un nombre par son inverse, le résultat est égal à 1. L'inverse d'un nombre a est \dfrac{1}{a} et l'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}. Par ailleurs, diviser par un nombre b, c'est multiplier par son inverse, soit \dfrac{1}{b}.

A

Définition de l'inverse d'un nombre

L'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.

Inverse d'un nombre

Soit a un nombre non nul.

L'inverse de a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.

100 \times 0{,}01 = 1

Ainsi, l'inverse de 100 est 0,01.

B

Les inverses d'un nombre non nul et d'une fraction

Soient a et b deux nombres non nuls, l'inverse de a est le quotient 1\div a et l'inverse de \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}.

Soit a un nombre non nul.

L'inverse de a est le quotient 1\div a.

  • L'inverse de -2 est \dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5.

  • 5\times 0{,}2=1, donc l'inverse de 5 est 0,2.

  • 1\div 5=0{,}2, l'inverse de 5 est donc bien 1\div 5.

Il ne faut pas confondre inverse et opposé.

L'inverse d'un nombre non nul a est en général différent de son opposé.

L'inverse de 5 est 0,2, mais l'opposé de 5 est -5.

Soient a et b deux nombres non nuls. L'inverse de \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}.

  • L'inverse de \dfrac{17}{31} est \dfrac{31}{17}.
  • L'inverse de \dfrac{-7}{6} est \dfrac{-6}{7}.
  • L'inverse de \dfrac{1}{12} est \dfrac{12}{1}=12.
C

La multiplication d'un nombre par son inverse

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

Soient a et b deux nombres non nuls, alors :

Diviser par a, c'est multiplier par \dfrac{1}{a}.

125\div25=125\times\dfrac{1}{25}=125\times0{,}04=5

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

Soient a et b deux nombres non nuls, alors :

Diviser par \dfrac{1}{a}, c'est multiplier par a.

12\div\dfrac14=12\times4=48

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse. Soient a et b deux nombres non nuls, alors :

Diviser par \dfrac{a}{b}, c'est multiplier par \dfrac{b}{a}.

18\div\dfrac{9}{2}=18\times \dfrac29=\dfrac{36}{9}=4

III

Les puissances d'exposant négatif

La notation des puissances avec un exposant négatif permet d'avoir une écriture de l'inverse d'une puissance avec un exposant positif.

A

Définition d'une puissance d'exposant négatif

Soit a un nombre non nul et n un entier positif, calculer a^{-n} revient à effectuer la division de 1 par a^n.

Puissance ^{-n}

Soient un entier positif n et a un nombre non nul.

On définit a^{-n} par :

a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}

5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}

B

Les puissances d'exposant négatif et l'inverse d'un nombre

Soit a un nombre non nul et n un entier positif, a^{-n} est l'inverse de a^n.

Soit a un nombre non nul.

L'inverse de a est égal à a^{-1}.

L'inverse de -3 est (-3)^{-1}, soit \dfrac{1}{(-3)^1}, c'est-à-dire \dfrac{1}{-3}.

Soient un entier positif n et a un nombre non nul.

a^{-n} est l'inverse de a^n.

10^{-2} est égal à \dfrac{1}{10^2}, c'est donc l'inverse de 10^2.

C

Les formules algébriques sur les puissances

Les définitions de a^n et a^{-n} avec n entier positif donnent directement des formules algébriques sur les puissances.

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :

a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}

3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :

\left(a^{n}\right)^{p} = a^{n\times p}

\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n et p deux entiers relatifs. On a :

\dfrac{a^{n}}{a^{p}}= a^{n-p}

\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif. On a :

\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}

\left(2\times5\right)^{3} = 2^{3} \times 5^{3}

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls et n un entier relatif. On a :

(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}

\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}

IV

La racine carrée et les carrés parfaits

Les carrés des premiers entiers naturels sont appelés « carrés parfaits ». Le nombre positif dont le carré est a est appelé « racine carrée de a ». Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

A

Les carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un autre entier naturel.

Carré parfait

On appelle « carré parfait » tout nombre égal au carré d'un entier.

Le tableau suivant présente les premiers carrés parfaits, c'est-à-dire les premiers carrés d'entiers naturels :

-

La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.

B

La racine carrée

Soit un nombre a, on appelle « racine carrée de a » le nombre positif dont le carré est a. Un nombre négatif peut être élevé au carré, mais il n'admet pas de racine carrée.

1

Définition d'une racine carrée

La racine carrée d'un nombre a est le nombre positif dont le carré est a.

Racine carrée

Soit a un nombre positif.
On appelle « racine carrée de a » le nombre positif dont le carré est a.

On le note \sqrt{a}.

On a :
\sqrt{a}>0\text{ et }\left(\sqrt{a}\right)^2=a

  • \sqrt{15}>0 et \left(\sqrt{15}\right)^2=15 ;
  • \sqrt{16}>0 et \left(\sqrt{16}\right)^2=16 ;
  • or 4>0 et 4^2=16, donc \sqrt{16}=4.

Pour les racines carrées qu'on n'obtient pas directement à partir des tables de multiplication, on utilise la calculatrice et la touche \sqrt{\hspace{1em}}.

On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.

2

Les racines carrées d'un nombre positif et d'un nombre négatif

Soit a un nombre positif, \sqrt{a^2}=a ; soit a un nombre négatif, \sqrt{a^2}=-a. Soit a un nombre positif, (\sqrt{a})^2=a ; soit a un nombre négatif, \left(\sqrt{a}\right)^2 n'existe pas car \sqrt{a} n'existe pas.

Soit a un nombre positif. On a :

\sqrt{a^{2}} = a
\left(\sqrt{a}\right)^2 = a

\sqrt{16}=\sqrt{4^{2}}= 4

Soit a un nombre négatif. On a :

\sqrt{a^{2}} = - a

\left(\sqrt{a}\right)^2 n'existe pas car \sqrt{a} n'existe pas.

On calcule :
\sqrt{\left(- 5\right)^{2}}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}= 5

Avec :
5=-\left(-5\right)

Voir aussi
  • Quiz : Les puissances et la racine carrée
  • Exercice : Calculer une puissance d'exposant strictement négatif
  • Exercice : Réécrire un produit à l'aide d'une puissance d'exposant strictement négatif
  • Exercice : Multiplier des fractions
  • Exercice : Différencier opposé et inverse
  • Exercice : Calculer l'inverse de fractions
  • Exercice : Identifier la multiplication équivalente à une division de deux nombres rationnels
  • Exercice : Diviser par des fractions
  • Exercice : Calculer une puissance d'exposant strictement positif
  • Exercice : Calculer la valeur d'une puissance entière naturelle
  • Exercice : Connaître les règles de calcul sur les puissances
  • Exercice : Simplifier un produit de puissances
  • Exercice : Simplifier un quotient de puissances
  • Exercice : Simplifier une association de produit et de quotient de puissances
  • Exercice : Calculer une opération de puissances avec des fractions
  • Exercice : Connaître le carré des entiers jusqu'à 12
  • Exercice : Connaître la racine carrée des carrés d'entiers jusqu'à 12
  • Exercice : Encadrer la racine carrée d'un nombre positif entre deux entiers
  • Exercice : Déterminer les solutions d'une équation sqrt(x) = a

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