Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Problèmes additifs
Problème additif
Un problème additif est un problème que l'on résout en effectuant une ou plusieurs additions.
Pour résoudre des problèmes additifs, on peut faire des schémas en barres ou des schémas avec un déplacement sur un axe.
Dans certains problèmes additifs, on peut avoir besoin d'effectuer une soustraction.
Les problèmes faisans intervenir un « tout » et une partie de ce « tout »
Côme est allé faire des courses ce matin. Il est d'abord passé devant la banque où il a retiré 40 € au distributeur automatique. Il est ensuite
passé à la boucherie où il a acheté un rôti coûtant 17,80 €. Quand il rentré chez lui, il a constaté qu'il lui restait 31,40 €. Quelle somme d'argent Côme avait-il sur lui en sortant ce matin ?
Pour résoudre ce problème, on peut s'aider d'un schéma avec un déplacement sur un axe. L'axe peut être chronologique, c'est-à-dire qu'on se déplace vers la droite au fur et à mesure des actions :
L'axe peut être numérique, c'est-à-dire qu'on va vers la droite quand la somme d'argent que Côme a sur lui augmente, et vers la gauche quand elle diminue :
On calcule la somme que possédait Côme juste avant d'acheter le rôti :
31{,}40\text{ €}+17{,}80\text{ €}=49{,}20 \text{ €}
Puis on en déduit la somme qu'il possédait au début, c'est-à-dire juste avant de retirer l'argent à la banque :
49{,}20\text{ €}-40\text{ €}=9{,}20\text{ €}
Les problèmes de comparaison de quantités ou de grandeurs
Léo et Lucie ont 43,40 € à eux deux. Lucie a 7,80 € de plus que Léo.
Combien chaque enfant a-t-il d'euros ?
Pour s'aider, on peut réaliser un schéma en barres.
On calcule le double de la somme de Léo :
43{,}40\text{ €}-7{,}80\text{ €}=35{,}60\text{ €}
On en déduit la somme de Léo :
35{,}60\text{ €}\div2=17{,}80\text{ €}
Et on trouve alors la somme de Lucie :
17{,}80\text{ €}+7{,}80\text{ €}=25{,}60\text{ €}
Problèmes multiplicatifs
Problème multiplicatif
Un problème multiplicatif est un problème que l'on résout en effectuant une ou plusieurs multiplications.
Les problèmes faisant intervenir un « tout » et une « partie de ce tout »
La maîtresse de CM2 a acheté six dictionnaires pour la classe. Chaque dictionnaire coûte 12,20 €. Combien a-t-elle dépensé pour l'ensemble des dictionnaires ?
On peut faire un schéma en barres pour visualiser :
On effectue la multiplication suivante :
12{,}20\text{ €} \times 6
On obtient :
73,20 €
La maîtresse a donc dû payer 73,20 € au total.
Dans un problème multiplicatif, on peut être amené à compléter une multiplication à trou et donc à effectuer une division. Il s'agit souvent de problèmes consistant à rechercher la valeur d'une part ou le nombre de parts dans le cadre d'un partage équitable.
La maîtresse de CM2 a acheté huit classeurs. Elle a payé 43,20 €. Quel est le prix d'un classeur ?
Ici, on cherche à calculer la valeur d'une part. On peut faire un schéma en barres afin de visualiser :
On cherche à compléter la multiplication à trou :
... \text{ €} \times 8=43{,}20\text{ €}
On effectue la division 43{,}20\text{ €}\div 8.
On obtient 5,4 €.
On en déduit qu'un classeur coûte 5,4 €.
Lors d'une fête de village, monsieur Dupin vend des sandwichs. Chaque sandwich coûte 7 €. À la fin de la journée, la recette de monsieur Dupin est de 2 611 €. Combien de sandwichs monsieur Dupin a-t-il vendus ?
Ici, on cherche à calculer le nombre de parts
On peut faire un schéma en barres afin de visualiser :
On cherche à compléter la multiplication à trou :
7 \text{ €} \times \dots=2\ 611\text{ €}
On effectue la division 2\ 611\text{ €}\div 7.
On obtient 373.
On en déduit que monsieur Dupin a vendu 373 sandwichs.
Les problèmes faisant intervenir des comparaisons
Axel achète une trottinette et un casque. La trottinette coûte quatre fois plus cher que le casque. Axel paie 161,25 €. Combien coûte la trottinette ?
On peut faire un schéma en barres pour visualiser :
On calcule le prix du casque :
161{,}25\text{ €} \div 5
On obtient :
32,25 €
Le casque coûte donc 32,25 €.
Puis on calcule le prix de la trottinette :
32{,}25\text{ €}\times4=129\text{ €}
La trottinette coûte donc 129 €.
Problèmes de dénombrement
Problème de dénombrement
Un problème de dénombrement est un problème consistant à déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble sans passer tout de suite par l'une des quatre opérations.
Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut penser à organiser judicieusement les éléments à dénombrer de manière à :
- les compter chacun une et une seule fois ;
- sans oubli.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à un tableau.
Une peluche est livrée avec trois pantalons et sept t-shirts. De combien de façons différentes est-il possible d'habiller la peluche ?
On peut faire un tableau dans lequel on fait figurer les t-shirts en colonnes (une colonne par couleur de t-shirt) et les pantalons en lignes (une ligne par couleur de pantalon).
Le nombre de tenues possibles correspond au nombre de cases dans le tableau :
3 \times 7 = 21
On peut donc habiller la peluche de 21 manières différentes.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à un arbre.
Pour se déguiser, un clown dispose de :
- deux chapeaux : un rouge et un bleu ;
- trois t-shirts : un violet, un noir et un jaune ;
- deux pantalons : un gris et un vert.
Combien de costumes complets différents avec un chapeau, un t-shirt et un pantalon le clown peut-il faire ?
On peut faire un arbre dans lequel on fait figurer dans l'ordre : les couleurs des chapeaux puis, pour chaque chapeau, les couleurs des t-shirts et enfin, pour chaque t-shirt, les couleurs des pantalons.
Le nombre de tenues possibles correspond au nombre de pantalons obtenus à la droite de l'arbre :
12
Le clown peut donc avoir 12 costumes complets différents.
Pour résoudre un problème de dénombrement, on peut avoir recours à une liste organisée.
Karim veut fabriquer un jeu de dominos.
Dans son jeu, chaque domino doit être composé de deux nombres de points compris entre 0 et 4. Il ne peut pas y avoir deux dominos identiques. Quel est le nombre de dominos que peut contenir ce jeu ?
Attention, ces deux dominos sont les mêmes :
On peut faire une liste organisée de tous les dominos possibles :
Puis on repère les dominos qui apparaissent deux fois. Pour chaque répétition, on en barre un.
On dénombre les dominos :
5+4+3+2+1=15
Ce jeu contiendra donc 15 dominos.
Problèmes d'optimisation
Problème d'optimisation
Un problème d'optimisation est un problème dans lequel le résultat doit être optimal, c'est-à-dire le plus grand ou ou le plus petit possible.
Résoudre un problème d'optimisation consiste à trouver une solution optimale parmi plusieurs solutions respectant plusieurs contraintes.
Madame Lidon souhaite réaliser des étagères. Pour une étagère, il lui faut une planche de deux mètres, deux équerres et neuf vis.
Elle dispose de :
- 6 planches de cinq mètres ;
- 40 équerres ;
- 120 vis.
Quel est le nombre maximal d'étagères que peut fabriquer madame Lidon ?
On peut schématiser ce qui est nécessaire pour fabriquer une étagère :
Les planches
On dispose de 6 planches de 5 m chacune.
On peut découper une planche de 5 m afin d'obtenir deux planches de 2 m car 5=2\times2+1.
Mme Lidon dispose donc de 2 \times6=12 planches de 2 m.
Or, pour fabriquer une étagère, il faut une planche de 2 m.
On en conclut qu'avec 12 planches de 2 m, on pourrait fabriquer 12 étagères.
Les équerres
On sait que :
- pour fabriquer une étagère, il faut 2 équerres ;
- on a 40 équerres ;
- 40=10 \times 2
On en déduit qu'avec 20 équerres, on pourrait fabriquer 20 étagères.
Les vis
On sait que :
- pour fabriquer une étagère, il faut 9 vis ;
- on a 120 vis ;
- 120=13 \times 9+3
On en déduit qu'avec 120 vis, on pourrait fabriquer 13 étagères et il resterait 3 vis.
Conclusion
Finalement :
- avec les planches dont dispose Mme Lidon, elle pourrait fabriquer 12 étagères ;
- avec les équerres, elle pourrait fabriquer 20 étagères ;
- avec les vis, elle pourrait fabriquer 13 étagères.
En conclusion, elle peut donc fabriquer 12 étagères.
Il restera alors :
- 6 planches de 1 m ;
- 40-(2\times12)=40-24=16 équerres ;
- 120-(9\times12)=120-108=12 vis.
Problèmes mobilisant une méthode algorithmique
On peut être amené à résoudre un problème consistant à rechercher toutes les solutions vérifiant certaines conditions parmi un ensemble de cas possibles. Cela nécessite d'organiser sa recherche de façon à assurer l'exhaustivité de sa réponse.
On veut trouver toutes les dimensions possibles pour les rectangles ayant des côtés mesurant un nombre entier de centimètres et ayant une aire égale à 60 cm2.
On cherche les dimensions de rectangles, c'est-à-dire la longueur et la largeur de rectangles.
On identifie les conditions à respecter :
- La longueur L et la largeur \ell doivent mesurer un nombre entier de centimètres.
- L'aire du rectangle doit être égale à 60 cm2.
On reformule la seconde condition. On sait que l'aire d'un rectangle est égale à L\times \ell. Dire que l'aire du rectangle doit être égale à 60 cm2 revient à dire que L\times \ell=60.
Le problème se ramène ainsi à déterminer les décompositions du nombre 60 en produit de deux nombres entiers. On peut procéder de la manière suivante :
On parcourt les nombres entiers à partir de 1 en identifiant les diviseurs successifs de 60 et en complétant la multiplication à trou. On obtient la liste de décompositions suivante :
Comme on cherche la longueur et la largeur de rectangles, on doit garder uniquement les décompositions donnant une largeur plus petite que la longueur associée.
Si on part du principe que le premier facteur correspond à la longueur L et le second facteur à la largeur \ell, on a alors :
En conclusion, les solutions au problème posé sont :
L=10\text{ cm} et \ell=6\text{ cm}
L=12\text{ cm} et \ell=5\text{ cm}
L=15\text{ cm} et \ell=4\text{ cm}
L=20\text{ cm} et \ell=3\text{ cm}
L=30\text{ cm} et \ell=2\text{ cm}
L=60\text{ cm} et \ell=1\text{ cm}