Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots.
Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de 1 à 3, et quatre boules rouges numérotées de 1 à 4, toutes indiscernables au toucher.
Partie A : étude du jeu
On pioche au hasard une boule dans l'urne.
Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Le nombre total de boules dans l'urne est égal à 7.
Le nombre de boules rouges est égal à 4.
Donc la probabilité de tirer une boule rouge est égale à \dfrac{4}{7}.
La probabilité de tirer une boule rouge est égale à \dfrac{4}{7}.
On pioche au hasard une boule dans l'urne.
Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?
Le nombre total de boules dans l'urne est égal à 7.
Les boules sont indiscernables au toucher, nous sommes donc dans une situation d'équiprobabilité.
Le nombre de boules noires avec un nombre pair est égal à 1.
Le nombre de boules rouges avec un nombre pair est égal à 2.
Au total, il y a donc 3 boules avec un nombre pair.
Donc la probabilité de tirer une boule avec un nombre pair est égale à \dfrac{3}{7}.
La probabilité de tirer une boule avec un nombre pair est égale à \dfrac{3}{7}.
Le jeu consiste à piocher dans l'urne une première boule, la remettre dans l'urne puis en piocher une seconde.
Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro.
Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée 1 et une boule noire.
Quelle est la probabilité de gagner ?
On construit un tableau à double entrée afin de dénombrer toutes les issues.
Le nombre total d'issues est égal à 49.
Le nombre d'issues favorables est égal à 6.
Donc la probabilité d'obtenir une boule rouge numérotée 1 et une boule noire est égale à \dfrac{6}{49}.
La probabilité de gagner est égale à \dfrac{6}{49}.
Partie B : constitution des lots
Pour constituer les lots, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants.
Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d'autocollants.
Tous les lots sont identiques.
Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.
Peut-on faire 3 lots ?
Il y a 195 figurines et 234 autocollants.
On remarque que :
- \dfrac{195}{3}=65
- \dfrac{234}{3}=78
On en déduit que l'on peut faire 3 lots. Chaque lot sera alors constitué de 65 figurines et de 234 autocollants.
Oui, on peut faire 3 lots.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 195 ?
On décompose 195 en produit de facteurs premiers de la manière suivante :
195=39\times5=3\times13\times5=3\times5\times13
La décomposition en produit de facteurs premiers de 195 est 3\times5\times13.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 234 est 2\times3^2\times13.
Combien de lots peut-on constituer au maximum ?
La décomposition en produit de facteurs premiers de 195 est 3\times5\times13.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 234 est 2\times3^2\times13.
Par conséquent, le plus grand diviseur commun à 195 et 234 est égal à 3\times13, c'est-à-dire 39.
On pourra donc constituer 39 lots au maximum.
On pourra constituer 39 lots au maximum.
De combien de figurines et d'autocollants sera alors composé chaque lot ?
Il y a 195 figurines et 234 autocollants.
Le nombre maximum de lots que l'on peut constituer est égal à 39.
On calcule donc :
- le nombre de figurines par lot : \dfrac{195}{39}=5 ;
- le nombre d'autocollants par lot : \dfrac{234}{39}=6.
On en déduit que chaque lot sera composé de 5 figurines et 6 autocollants.
Chaque lot sera composé de 5 figurines et 6 autocollants.