Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :
- Un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1.
- Le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.
- Le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.
En combien de temps s'effectue le circuit 1 ?
Pour chaque exercice du circuit 1, la durée totale est égale à la somme de la durée de l'exercice et la durée du repos, à savoir :
40 + 16 = 56 \text{ s}
Or, le circuit 1 est composé de 5 exercices.
Par conséquent, la durée du circuit 1 est égale, en secondes, à :
5 \times 56 = 280
Le circuit 1 s'effectue en 280 secondes.
En combien de temps s'effectue le circuit 2 ?
Pour chaque exercice du circuit 2, la durée totale est égale à la somme de la durée de l'exercice et la durée du repos, à savoir :
30 + 5 = 35 \text{ s}
Or, le circuit 2 est composé de 10 exercices.
Par conséquent, la durée du circuit 2 est égale, en secondes, à :
10 \times 35 = 350
Le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 ?
On décompose 280 de la manière suivante :
280=10\times28=2\times5\times4\times7=2\times5\times2\times2\times7=2^3\times5\times7
Les facteurs apparaissant dans la décomposition sont 2, 5 et 7. Ce sont des nombres premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 280 est 2^3\times5\times7.
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 350 ?
On décompose 350 de la manière suivante :
350 = 10\times35=2\times5\times5\times7=2\times5^2\times7
Les facteurs apparaissant dans la décomposition sont 2, 5 et 7. Ce sont des nombres premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 350 est 2\times5^2\times7.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.
Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
Où se trouve Camille lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet ?
Le circuit 1 s'effectue en 280 secondes.
On sait que 2 800 secondes se sont écoulées depuis le coup de sifflet.
On effectue donc la division euclidienne de 2 800 par 280.
On obtient :
2\ 800=10\times280+0
On en déduit que Camille a effectué 10 fois le circuit 1 entièrement.
Elle se trouve donc au point de départ.
Lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve au point de départ.
Où se trouve Dominique lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet ?
Le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
On sait que 2 800 secondes se sont écoulées depuis le coup de sifflet.
On effectue donc la division euclidienne de 2 800 par 350.
On obtient :
2\ 800=8\times350+0
On en déduit que Dominique a effectué 8 fois le circuit 2 entièrement.
Elle se trouve donc au point de départ.
Lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Dominique se trouve au point de départ.
Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ?
Après le coup de sifflet, le temps qu'il faut à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit est :
- un multiple de 280 ;
- un multiple de 350 ;
- le plus petit possible.
Le nombre cherché est donc le plus petit commun multiple à 280 et 350.
On sait que :
- la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 est 2^3\times5\times7 ;
- la décomposition en produit de facteurs premiers de 350 est 2\times5^2\times7.
On en déduit que le plus petit commun multiple à 280 et 350 est 2^3\times5^2\times7, c'est-à-dire 1 400.
Par conséquent, il faut 1 400 secondes à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit.
On termine en effectuant la conversion de 1 400 secondes en minutes et secondes.
On effectue la division euclidienne de 1 400 par 60.
On obtient :
1\ 400=23\times60+20
On en déduit que 1\ 400 \text{ s} = 23 \text{ min } 20 \text{ s}.
Il faut 23 min 20 s à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit.