Utiliser un tableau pour traduire des relations entre des nombres inconnus Exercice

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le nombre de maisons à une étape et le nombre d'allumettes qui composent cette maison. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Nombre de maisons	Nombre d'allumettes qui composent la maison
1
2
3
4
...
25

On observe que :

• Pour construire le motif de la maison de l'étape 2, on reprend le motif de l'étape 1 et on ajoute 5 allumettes. Cela fait bien 6+1 \times 5 = 11 \text{ allumettes}.
• Pour construire le motif de la maison de l'étape 3, on reprend le motif de l'étape 2 et on ajoute 5 allumettes. Autrement dit, on prend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 fois 5 allumettes. Cela fait bien 6+2 \times 5 = 16\text{ allumettes}.

On peut commencer à compléter le tableau :

Nombre de maisons	Nombre d'allumettes qui composent la maison
1	6
2	6 + \textcolor{Red}{1} \times 5
3	6 + \textcolor{Red}{2} \times 5
4
...
25

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu à partir du motif 1 auquel on a ajouté 3 fois 5 allumettes.

On a bien 21 allumettes :
6+5\times 3=21

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Nombre de maisons	Nombre d'allumettes qui composent la maison
1	6 + \textcolor{Red}{0} \times 5
2	6 + \textcolor{Red}{1} \times 5
3	6 + \textcolor{Red}{2} \times 5
4	6 + \textcolor{Red}{3} \times 5
...
25

On peut maintenant observer que le nombre par lequel on multiplie 5, celui qui apparaît en rouge dans le tableau, correspond au nombre de maisons de l'étape précédente.

Ainsi, pour le motif comportant 25 maisons, on va multiplier 5 par 24. Cela correspond au fait que le motif de l'étape 25 s'obtient à partir du motif de l'étape 1 auquel on a ajouté 24 fois 5 allumettes.

On obtient donc le tableau suivant :

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le numéro de l'étape et le nombre de segments qui composent la ligne brisée à cette étape. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Étape	Nombre de segments qui composent la ligne brisée
1
2
3
4
...
20

On observe que :

• Le motif de l'étape 1 possède 2 segments : 1\times2 \text{ segments}.
• Pour construire le motif de l'étape 2, on reprend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 segments. Cela fait bien 2 + 2 = 2\times2 \text{ segments}.
• Pour construire le motif de l'étape 3, on reprend le motif de l'étape 2 et on ajoute 2 segments. Autrement dit, on prend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 fois 2 segments. Cela fait bien 2 + 2\times2 = 3\times 2\text{ segments}.

On peut commencer à compléter le tableau :

Étape	Nombre de segments qui composent la ligne brisée
1	\textcolor{Red}{1}\times2
2	\textcolor{Red}{2}\times2
3	\textcolor{Red}{3}\times2
4
...
20

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu à partir du motif 1 auquel on a ajouté 3 fois 2 segments.

On a bien 8 segments :
2 + 3\times2 = 4\times2

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Étape	Nombre de segments qui composent la ligne brisée
1	\textcolor{Red}{1}\times2
2	\textcolor{Red}{2}\times2
3	\textcolor{Red}{3}\times2
4	\textcolor{Red}{4}\times2
...
20

On peut maintenant observer que le nombre de segments qui composent une étape est égale au numéro de l'étape multiplié par 2.

On obtient donc le tableau suivant :

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le numéro de l'étape et le nombre de segments qui composent cet assemblage. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Étape	Nombre de segments
1
2
3
4
...
36

On observe que :

• Pour construire le motif de l'étape 2, on reprend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 segments. Cela fait bien 3+1 \times 2 = 5 \text{ segments}.
• Pour construire le motif de l'étape 3, on reprend le motif de l'étape 2 et on ajoute 2 segments. Autrement dit, on prend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 fois 2 segments. Cela fait bien 3+2 \times 2 = 7\text{ segments}.

On peut commencer à compléter le tableau :

Étape	Nombre de segments
1	3
2	3+\textcolor{Red}{1}\times2
3	3+\textcolor{Red}{2}\times2
4
...
36

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu à partir du motif 1 auquel on a ajouté 3 fois 2 segments.

On a bien 9 segments :
3+3\times 2=9

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Étape	Nombre de segments
1	3
2	3+\textcolor{Red}{1}\times2
3	3+\textcolor{Red}{2}\times2
4	3+\textcolor{Red}{3}\times2
...
36

On peut maintenant observer que le nombre par lequel on multiplie 2, celui qui apparaît en rouge dans le tableau, correspond au nombre de l'étape précédente.

Ainsi, pour le motif de l'étape 36, on va multiplier 2 par 35. Cela correspond au fait que le motif de l'étape 36 s'obtient à partir du motif de l'étape 1 auquel on a ajouté 35 fois 2 segments.

On obtient donc le tableau suivant :

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le numéro de l'étape et le nombre de carrés qui composent cet assemblage. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Étape	Nombre de carrés
1
2
3
4
...
50

On observe que :

• Pour construire le motif de l'étape 2, on reprend le motif de l'étape 1 et on ajoute 3 carrés. Cela fait bien 1+1 \times 3 = 4 \text{ carrés}.
• Pour construire le motif de l'étape 3, on reprend le motif de l'étape 2 et on ajoute 3 carrés. Autrement dit, on prend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 fois 3 carrés. Cela fait bien 1+2 \times 3 = 7 \text{ carrés}.

On peut commencer à compléter le tableau :

Étape	Nombre de carrés
1	1
2	1+\textcolor{Red}{1}\times3
3	1+\textcolor{Red}{2}\times3
4
...
50

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu à partir du motif 1 auquel on a ajouté 3 fois 3 carrés.

On a bien 10 carrés :
1+3\times3 = 10

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Étape	Nombre de carrés
1	1
2	1+\textcolor{Red}{1}\times3
3	1+\textcolor{Red}{2}\times3
4	1+\textcolor{Red}{3}\times3
...
50

On peut maintenant observer que le nombre par lequel on multiplie 3, celui qui apparaît en rouge dans le tableau, correspond au nombre de l'étape précédente.

Ainsi, pour le motif de l'étape 50, on va multiplier 3 par 49. Cela correspond au fait que le motif de l'étape 50 s'obtient à partir du motif de l'étape 1 auquel on a ajouté 49 fois 3 carrés.

On obtient donc le tableau suivant :

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le numéro de l'étape et le nombre de cercles qui composent cet assemblage. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Étape	Nombre de cercles
1
2
3
4
...
15

On observe que :

• Le motif 1 a un cercle.
• Pour construire le motif de l'étape 2, on a assemblé deux lignes de deux cercles.
• Pour construire le motif de l'étape 3, on a assemblé trois lignes de trois cercles.

On peut commencer à compléter le tableau :

Étape	Nombre de cercles
1	\textcolor{Red}{1} \times \textcolor{Red}{1}
2	\textcolor{Red}{2}\times\textcolor{Red}{2}
3	\textcolor{Red}{3}\times\textcolor{Red}{3}
4
...
15

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu en assemblant quatre lignes de quatre cercles.

On a bien 16 cercles :
4\times4=16

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Étape	Nombre de cercles
1	\textcolor{Red}{1} \times \textcolor{Red}{1}
2	\textcolor{Red}{2} \times \textcolor{Red}{2}
3	\textcolor{Red}{3} \times \textcolor{Red}{3}
4	\textcolor{Red}{4} \times \textcolor{Red}{4}
...
15

On peut maintenant observer que le nombre de cercles est égal au numéro de l'étape fois lui-même.

Ainsi, pour le motif de l'étape 15, on va multiplier 15 par 15.

On obtient donc le tableau suivant :

Il s'agit ici d'un motif évolutif.

On cherche la relation entre le numéro de l'étape et le nombre de segments qui composent cet assemblage. On peut donc commencer à construire un tableau comme suit pour visualiser :

Étape	Nombre de segments
1
2
3
4
...
25

On observe que :

• Pour construire le motif de l'étape 2, on reprend le motif de l'étape 1 et on ajoute 5 segments. Cela fait bien 6+1\times5 = 11 \text{ segments}.
• Pour construire le motif de l'étape 3, on reprend le motif de l'étape 2 et on ajoute 5 segments. Autrement dit, on prend le motif de l'étape 1 et on ajoute 2 fois 5 segments. Cela fait bien 6+2\times5 = 16\text{ segments}.

On peut commencer à compléter le tableau :

Étape	Nombre de segments
1	6+\textcolor{Red}{0}\times5
2	6+\textcolor{Red}{1}\times5
3	6+\textcolor{Red}{2}\times5
4
...
25

On peut vérifier que ce principe fonctionne pour l'étape 4. On dessine le motif de l'étape 4 :

Ce motif est obtenu à partir du motif 1 auquel on a ajouté 3 fois 5 segments.

On a bien 21 segments :
6+3\times5 = 21

On peut donc compléter le tableau ainsi :

Étape	Nombre de segments
1	6+\textcolor{Red}{0}\times5
2	6+\textcolor{Red}{1}\times5
3	6+\textcolor{Red}{2}\times5
4	6+\textcolor{Red}{3}\times5
...
25

On peut maintenant observer que le nombre par lequel on multiplie 5, celui qui apparaît en rouge dans le tableau, correspond au nombre de l'étape précédente.

Ainsi, pour le motif de l'étape 25, on va multiplier 5 par 24. Cela correspond au fait que le motif de l'étape 25 s'obtient à partir du motif de l'étape 1 auquel on a ajouté 24 fois 5 segments.

On obtient donc le tableau suivant :