Les suites Fiche bac

Sommaire

ISens de variationIISuite majorée, minorée, bornéeIIISuites arithmétiques et géométriquesIVLimite d'une suiteASuite convergente et divergenteBOpérations et limitesCLa limite d'une suite géométrique de terme général q^{n}DLimites et comparaisonEConvergence monotoneVDémontrer une propriété par récurrence
I

Sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_n\right) est croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, u_{n+1}\geq u_n.

Pour montrer qu'une suite est croissante, on peut :

  • Montrer que u_{n+1}-u_n\geq 0 pour tout entier n pour lequel u_n est définie.
  • Montrer que \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1, si les termes u_n sont tous de même signe. Il faut que \left(u_n\right) soit différent de 0.

Suite décroissante

La suite \left(u_n\right) est décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, u_{n+1}\leq u_n.

Pour montrer qu'une suite est décroissante, on peut :

  • Montrer que u_{n+1}-u_n\leq 0 pour tout entier n pour lequel u_n est définie.
  • Montrer que \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1, si les termes u_n sont tous de même signe. Il faut que \left(u_n\right) soit différent de 0.

Suite monotone

Une suite est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

Pour montrer qu'une suite est monotone, on montre donc qu'elle est croissante, ou qu'elle est décroissante.

On dit qu'on étudie la monotonie de la suite.

II

Suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée

Une suite \left(u_n\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout entier n u_n\leq M.

Pour montrer qu'une suite \left(u_n\right) est majorée par un réel M, il est souvent plus facile de montrer que u_n-M\leq 0.

Suite minorée

Une suite \left(u_n\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que pour tout entier n u_n\geq m.

Pour montrer qu'une suite \left(u_n\right) est minorée par un réel m, il est souvent plus facile de montrer que u_n-m\geq 0.

Suite bornée

Une suite est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

Pour montrer qu'une suite est bornée, on montre donc qu'elle est majorée ET minorée.

III

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r et de premier terme u_p Suite géométrique de raison q et de premier terme u_p
Relation de récurrence u_{n+1}=u_n+r u_{n+1}=u_n\times q
Terme général

Pour tout entier n\geq p :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} + nr

Pour tout entier n\geq p :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0 :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Sommes de termes

Sommes d'entiers naturels

Soit un entier naturel non nul n. On a :

1+2+\dots+n=\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

Sommes des q^n

Soient un réel q\neq 1 et un entier naturel n. On a :

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Application dans la vie courante Une suite arithmétique correspond au capital disponible sur un compte rémunéré avec des intérêts simples. Une suite géométrique correspond au capital disponible sur un compte rémunéré avec des intérêts composés (intérêt constant).
  • Pour montrer qu'une suite \left(u_n\right) est arithmétique, on peut montrer que la différence u_{n+1}-u_n est constante.
  • Pour montrer qu'une suite \left(u_n\right) est géométrique, on peut montrer que le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant, à condition de pouvoir montrer que les termes u_n sont tous non nuls.
  • Si l'on n'est pas sûr d'avoir tous les termes u_n non nuls, on montre que la suite \left(u_n\right) est géométrique en exprimant u_{n+1} en fonction de u_n et en montrant que u_{n+1}=q\times u_n, où q est un réel (ne dépendant pas de n).

Pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique à partir du terme u_0, on remplace chaque terme par sa forme explicite (terme général) et on regroupe ensemble tous les termes qui contiennent la raison.

On considère la suite \left(u_n\right) arithmétique de premier terme u_0=2 et de raison r=3.

Le terme général (forme explicite) de la suite est donc :

u_n=2+3n, pour tout n\in\mathbb{N}.

On obtient la somme des 10 premiers termes de la suite \left(u_n\right) ainsi :

u_0+u_1+\dots+u_9=2+\left(2+3\right)+\dots +\left(2+9\times 3\right)\\u_0+u_1+\dots+u_9=\underbrace{2+2+\dots +2}_{\text{10 fois}}+3+2\times 3+\dots 9\times 3\\u_0+u_1+\dots+u_9=2\times 10+3\times \left(1+2+\dots 9\right)

On voit apparaître la somme des 9 premiers entiers naturels.

u_0+u_1+\dots+u_9=20+3\times \dfrac{9\times 10}{2}\\u_0+u_1+\dots+u_9=20+3\times 45\\u_0+u_1+\dots+u_9=155

Pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique à partir du terme u_0, on remplace chaque terme par sa forme explicite (terme général) et on factorise par u_0.

On considère la suite \left(u_n\right) géométrique de premier terme u_0=2 et de raison q=3.

Le terme général (forme explicite) de la suite est donc :

u_n=2\times 3^n, pour tout n\in\mathbb{N}.

On obtient la somme des 10 premiers termes de la suite \left(u_n\right) ainsi :

u_0+u_1+\dots+u_9=2+\left(2\times 3\right)+\dots +\left(2\times 3^9\right)\\u_0+u_1+\dots+u_9=2\times \left(1+3+\dots 3^9\right)

On voit apparaître la somme des q^n avec q=3 et n variant de 0 à 9.

u_0+u_1+\dots+u_9=2\times \dfrac{1-3^{10}}{1-3}

On réduit, si l'on peut, le résultat obtenu.

u_0+u_1+\dots+u_9=2\times \dfrac{1-3^{10}}{-2}\\u_0+u_1+\dots+u_9=3^{10}-1

IV

Limite d'une suite

A

Suite convergente et divergente

Suite convergente

On dit qu'une suite est convergente si elle admet une limite finie.

Suite divergente

Une suite est divergente si elle n'a pas de limite ou si sa limite est infinie.

B

Opérations et limites

Limite d'une somme

On désigne par L et L' deux réels.

Limite de u_n en +\infty L L L + \infty - \infty + \infty
Limite de v_n en +\infty L' + \infty - \infty + \infty - \infty - \infty
Limite de \left(u_n+v_n\right) en +\infty L + L' + \infty - \infty + \infty - \infty ?

Limite d'un produit

On désigne par L et L' deux réels.

Limite de u_n en +\infty L L \gt 0 L \lt 0 L \gt 0 L \lt 0 + \infty - \infty + \infty 0
Limite de v_n en +\infty L' + \infty + \infty - \infty - \infty + \infty - \infty - \infty \pm \infty
Limite de u_n \times v_n en +\infty L \times L' + \infty - \infty - \infty + \infty + \infty + \infty - \infty ?

Limite d'un quotient

On désigne par L et L' deux réels. La suite \left(v_n\right) est non nulle quel que soit n.

Limite de u_n en +\infty L L + \infty + \infty - \infty - \infty 0 \pm \infty L \gt 0 ou + \infty L \lt 0 ou - \infty
Limite de v_n en +\infty L' \neq 0 \pm \infty L' \gt 0 L' \lt 0 L' \gt 0 L' \lt 0 0 \pm \infty 0^{+} 0^{-} 0^{+} 0^{-}
Limite de \dfrac{u_n}{v_n} en +\infty \dfrac{L}{L'} 0 + \infty - \infty - \infty + \infty ? ? + \infty - \infty - \infty + \infty
C

La limite d'une suite géométrique de terme général q^{n}

La limite d'une suite géométrique de terme général q^{n}

La limite de la suite géométrique de terme général q^{n} dépend de la valeur de q :

Condition sur q Limite de \left(q^n\right)
q\leq-1 Pas de limite
-1 \lt q \lt 1 \lim\limits_{n \to +\infty } q^{n} = 0
q = 1 \lim\limits_{n \to +\infty } q^{n} = 1
q \gt 1 \lim\limits_{n \to +\infty } q^{n} = + \infty
D

Limites et comparaison

Théorème d'encadrement (ou des gendarmes)

Soient u_n, v_n et w_n trois suites telles que pour tout entier naturel n, u_n \leq v_n \leq w_n.
Si \lim\limits_{n \to \ + \infty } u_n = L et \lim\limits_{n \to \ + \infty } w_n = L alors \lim\limits_{n \to \ + \infty } v_n = L.

Théorème de comparaison (1)

Soient u_n et v_n deux suites telles que u_n\leq v_n pour tout entier naturel n.
Si \lim\limits_{n \to \ +\infty } u_n = L et \lim\limits_{n \to \ +\infty } v_n = L' alors L \leq L'.

Théorème de comparaison (2)

Soient u_n et v_n deux suites telles que u_n\leq v_n pour tout entier naturel n.

  • Si \lim\limits_{n \to \ + \infty } u_n = + \infty , alors par théorème de comparaison, \lim\limits_{n \to \ + \infty } v_n = + \infty .
  • Si \lim\limits_{n \to \ + \infty } v_n = - \infty , alors par théorème de comparaison, \lim\limits_{n \to \ + \infty } u_n = - \infty .
E

Convergence monotone

Suite croissante et majorée

Toute suite croissante et majorée par un réel M converge vers une limite L vérifiant L\leq M.

Ce théorème ne donne pas la valeur de L.

Suite décroissante et minorée

Toute suite décroissante et minorée par un réel m converge vers une limite L vérifiant L\geq m.

Ce théorème ne donne pas la valeur de L.

Suite monotone et bornée

Toute suite bornée et monotone est convergente.

V

Démontrer une propriété par récurrence

Démontrer une propriété par récurrence

Soit un entier naturel m.

Montrer, par récurrence, qu'une proposition P_n est vraie pour tout entier naturel n\geq m signifie :

  • Montrer que la propriété est initialisée, c'est-à-dire que P_m est vraie ; cette étape s'appelle l'initialisation.
  • Montrer que la propriété est héréditaire, c'est-à-dire que si P_n est vraie pour un entier naturel quelconque n\geq m, alors P_{n+1} est également vraie ; cette étape s'appelle l'hérédité.
  • Conclure que P_n est vraie pour tout entier n\geq m ; cette étape s'appelle la conclusion.