Suites et conjectures à l'aide d'un algorithme Exercice type bac

Centres étrangers, 2013

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_{1}=\dfrac{3}{2} et la relation de récurrence : u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}.

Pour calculer et afficher le terme u_{9} de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.

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Comment compléter les deux lignes remplacées par des points de suspension ?

Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de u_{2} jusqu'à u_{9} ?

Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

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Au vu de ces résultats, que dire du sens de variation et la convergence de la suite \left(u_{n}\right) ?

On définit une suite auxiliaire \left(v_{n}\right) par : pour tout entier n\geqslant 1, v _{n} = nu_{n} −1.

On admet que la suite \left(v_{n}\right) est géométrique.

Quelle est sa raison et quel est son premier terme ?

On admet que, pour tout entier naturel n\geqslant 1, on a : u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}.

Quelle est la limite de la suite \left(u_{n}\right) ?

On admet que, pour tout entier n\geqslant 1 , on a : u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}.

Quel est le sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?

En s'inspirant de la partie A, quel algorithme permet de déterminer et d'afficher le plus petit entier n tel que u_{n} < 0,001 ?

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