Etudier une suite récurrente Exercice type bac

Soient f une fonction définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 1\right]}\), continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que \(\displaystyle{0 \lt a \lt 1}\).

On note :

  • C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
  • A1 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations \(\displaystyle{x = 0}\) et \(\displaystyle{x = a}\) d'autre part.
  • A2 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = 1}\) d'autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : "Les aires A1 et A2 sont égales".

On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

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Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = 4 - 3x^{2}}\).

Quelle proposition démontre que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation suivante ?

\(\displaystyle{x = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}}\)

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) par \(\displaystyle{g\left(x\right) = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}}\) et la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par : \(\displaystyle{\begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=g\left(u_n\right), \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}}\)

a

Quelle est la valeur de \(\displaystyle{u_1}\) ?

b

Quelle proposition démontre que la fonction g est croissante sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) ?

c

Quelle proposition démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : \(\displaystyle{0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1}\) ?

d

Quelle proposition démontre que la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est convergente et que sa limite est égale à a ?

e

On admet que le réel a vérifie l'inégalité \(\displaystyle{0 \lt a-u_{10} \lt 10^{-9}}\).

Quelle est la valeur de \(\displaystyle{u_{10}}\) à \(\displaystyle{10^{-8}}\) près ?

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