Etudier une suite récurrenteExercice type bac

Soient f une fonction définie sur l'intervalle \left[0 ; 1\right], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 \lt a \lt 1.

On note :

  • C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
  • A1 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = 0 et x = a d'autre part.
  • A2 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = a et x = 1 d'autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : "Les aires A1 et A2 sont égales".

On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.

-

Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 4 - 3x^{2}.

Quelle proposition démontre que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation suivante ?

x = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}

On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle \left[ 0;1 \right] par g\left(x\right) = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8} et la suite \left(u_n\right) définie par : \begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=g\left(u_n\right), \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}

a

Quelle est la valeur de u_1 ?

b

Quelle proposition démontre que la fonction g est croissante sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] ?

c

Quelle proposition démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 ?

d

Quelle proposition démontre que la suite \left(u_n\right) est convergente et que sa limite est égale à a ?

e

On admet que le réel a vérifie l'inégalité 0 \lt a-u_{10} \lt 10^{-9}.

Quelle est la valeur de u_{10} à 10^{-8} près ?

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