Soient f une fonction définie sur l'intervalle \left[0 ; 1\right], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 \lt a \lt 1.
On note :
- C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
- A1 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = 0 et x = a d'autre part.
- A2 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = a et x = 1 d'autre part.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : "Les aires A1 et A2 sont égales".
On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.
Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 4 - 3x^{2}.
Quelle proposition démontre que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation suivante ?
x = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}
Montrons que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation:
x=\cfrac{x^3}{4}+\cfrac{3}{8}
On considère la fonction f définie pour tout réel x\in\left[0;1\right], par f\left(x\right)=4-3x^2.
La fonction f est bien continue sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale. Elle admet donc des primitives sur \left[0;1\right].
De plus, la fonction f est positive sur \left[0;1\right]. En effet, on a :
0\leq x \leq 1\\\Leftrightarrow 0\leq x^2 \leq 1 \qquad\qquad \text{Par croissance de la fonction carré sur }\left[0;1\right].\\\Leftrightarrow 0\geq -3x^2\geq -3 \qquad\qquad \text{On multiplie par } \left(-3\right).\\\Leftrightarrow 4\geq 4-3x^2 \geq 1 \geq 0 \qquad\qquad \text{On ajoute } 4.\\
Donc, pour tout réel x de \left[0;1\right], f\left(x\right)\geq 0 ce qui implique que pour tout x d'un intervalle I\subset \left[0;1\right], \int_I f\left(x\right) dx \geq 0.
Donc :
Soit a\in\left]0;1\right[, on a :
\mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}
\Leftrightarrow \int^a_{0} f\left(x\right) dx=\int^1_{a} f\left(x\right) dx
\Leftrightarrow \int^a_{0} \left(4-3x^2\right) dx=\int^1_{a} \left(4-3x^2\right) dx
\Leftrightarrow \left[4x-x^3\right]^{a}_{0}=\left[4x-x^3\right]^{1}_{a}
\Leftrightarrow 4a-a^3=4-1-4a+a^3
\Leftrightarrow 8a=3+2a^3
\Leftrightarrow a=\cfrac{3}{8}+\cfrac{a^3}{4}
On a donc bien montré sur si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est bien solution de l'équation :
x=\cfrac{3}{8}+\cfrac{x^3}{4}