Soient f une fonction définie sur l'intervalle \left[0 ; 1\right], continue et positive sur cet intervalle, et a un réel tel que 0 \lt a \lt 1.
On note :
- C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal
- A1 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = 0 et x = a d'autre part.
- A2 l'aire du domaine plan limité par l'axe des abscisses et la courbe C d'une part, les droites d'équations x = a et x = 1 d'autre part.
Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f, une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : "Les aires A1 et A2 sont égales".
On admet l'existence d'un tel réel a pour chacune des fonctions considérées.
Dans cette partie, on considère la fonction f définie pour tout réel x de \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 4 - 3x^{2}.
Quelle proposition démontre que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation suivante ?
x = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8}
Montrons que si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est solution de l'équation:
x=\cfrac{x^3}{4}+\cfrac{3}{8}
On considère la fonction f définie pour tout réel x\in\left[0;1\right], par f\left(x\right)=4-3x^2.
La fonction f est bien continue sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale. Elle admet donc des primitives sur \left[0;1\right].
De plus, la fonction f est positive sur \left[0;1\right]. En effet, on a :
0\leq x \leq 1\\\Leftrightarrow 0\leq x^2 \leq 1 \qquad\qquad \text{Par croissance de la fonction carré sur }\left[0;1\right].\\\Leftrightarrow 0\geq -3x^2\geq -3 \qquad\qquad \text{On multiplie par } \left(-3\right).\\\Leftrightarrow 4\geq 4-3x^2 \geq 1 \geq 0 \qquad\qquad \text{On ajoute } 4.\\
Donc, pour tout réel x de \left[0;1\right], f\left(x\right)\geq 0 ce qui implique que pour tout x d'un intervalle I\subset \left[0;1\right], \int_I f\left(x\right) dx \geq 0.
Donc :
Soit a\in\left]0;1\right[, on a :
\mathcal{A_1}=\mathcal{A_2}
\Leftrightarrow \int^a_{0} f\left(x\right) dx=\int^1_{a} f\left(x\right) dx
\Leftrightarrow \int^a_{0} \left(4-3x^2\right) dx=\int^1_{a} \left(4-3x^2\right) dx
\Leftrightarrow \left[4x-x^3\right]^{a}_{0}=\left[4x-x^3\right]^{1}_{a}
\Leftrightarrow 4a-a^3=4-1-4a+a^3
\Leftrightarrow 8a=3+2a^3
\Leftrightarrow a=\cfrac{3}{8}+\cfrac{a^3}{4}
On a donc bien montré sur si a est un réel satisfaisant la condition (E), alors a est bien solution de l'équation :
x=\cfrac{3}{8}+\cfrac{x^3}{4}
On considère la fonction g définie pour tout réel x de l'intervalle \left[ 0;1 \right] par g\left(x\right) = \dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac {3}{8} et la suite \left(u_n\right) définie par : \begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=g\left(u_n\right), \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}
Quelle est la valeur de u_1 ?
La fonction g est définie et continue sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.
D'après l'énoncé, on a pour tout entier n, \begin{cases} u_{n+1}=g\left(u_n\right)=\cfrac{u_n^3}{4}+\cfrac{3}{8} \cr \cr u_0=0 \end{cases}
On obtient donc :
u_1=u_{0+1}=g\left(u_0\right)=\cfrac{u_0^3}{4}+\cfrac{3}{8}=\cfrac{3}{8}
u_1=\cfrac{3}{8}
Quelle proposition démontre que la fonction g est croissante sur l'intervalle \left[ 0;1 \right] ?
D'après l'énoncé, pour tout x réel de \left[0;1\right], on a g\left(x\right)=\cfrac{x^3}{4}+\cfrac{3}{8}.
La fonction g est bien dérivable sur \left[0;1\right] car c'est la restriction d'une fonction polynomiale.
On a pour tout x réel de \left[0;1\right].
g'\left(x\right)=\cfrac{3}{4}x^2
Or, pour tout x réel de \left[0;1\right], \cfrac{3}{4}x^2\geq 0.
Donc pour tout x réel de \left[0;1\right], g'\left(x\right)\geq 0.
On en déduit donc que la fonction g est croissante sur \left[0;1\right].
Quelle proposition démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 ?
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 1.
On note P_n, la propriété : 0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 1
Initialisation :
Pour n=0, on a, d'après la question précédente :
u_0=0 et u_1=\cfrac{3}{8}
Or, 0\leq 0\leq \cfrac{3}{8}\leq 1 donc: 0\leq u_{0}\leq u_{1}\leq 1.
La propriété P_n est vraie pour n=0. P_0 est donc vraie.
Hérédité:
Supposons que pour un entier k\geq0 fixé, la propriété P_k est vraie. Montrons alors que la propriété P_{k+1} est vraie.
On a par hypothèse de récurrence :
0\leq u_{k}\leq u_{k+1}\leq 1
Par croissance de la fonction g sur \left[0;1\right], on obtient :
g\left(0\right)\leq g\left(u_{k}\right)\leq g\left(u_{k+1}\right)\leq g\left(1\right)
Or :
g\left(0\right)=\cfrac{3}{8}, g\left(1\right)=\cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{8}=\cfrac{5}{8}, g\left(u_k\right)=u_{k+1} et g\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}
On a donc :
0\leq \cfrac{3}{8}\leq u_{k+1}\leq u_{k+2} \leq \cfrac{5}{8}\leq1
Donc :
0\leq u_{k+1}\leq u_{k+2} \leq1
La propriété P_{k+1} est alors vérifiée.
Conclusion :
- P_0 est vraie.
- Pour tout k\geq 0, P_k \text{ vraie }\Rightarrow P_{k+1}\text{ vraie }.
On a donc montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : 0\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1.
Quelle proposition démontre que la suite \left(u_n\right) est convergente et que sa limite est égale à a ?
Montrons que la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.
D'après la question précédente, on a montré que pour tout entier naturel n,
0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 1
- Donc, pour tout entier naturel n, u_{n}\leq u_{n+1}, ce qui signifie que la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est une suite croissante.
- De plus, on a pour tout entier naturel n, u_{n}\leq 1, ce qui signifie que la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est une suite majorée.
D'après le cours, on sait que toute suite croissante et majorée converge.
La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}, converge donc vers un réel l, avec 0\leq l\leq 1.
On a donc : \lim\limits_{n \to +\infty } u_{n}=\lim\limits_{n \to +\infty } u_{n+1}=l et on sait aussi que la fonction g est une fonction continue, donc par composition des limites, on a :
\lim\limits_{n \to +\infty }g\left(u_n\right)=g\left(l\right)
De plus, la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est définie par récurrence par : u_{n+1}=g\left(u_n\right)
On a donc par passage à la limite quand n tend vers +\infty :
l=g\left(l\right) \Leftrightarrow l=\cfrac{l^3}{4}+\cfrac{3}{8}
Or, d'après la question 1, on sait que le réel a est l'unique solution de l'équation, l=\cfrac{l^3}{4}+\cfrac{3}{8}
Donc l=a.
On a donc montré que la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} converge et que sa limite vaut le réel a.
On admet que le réel a vérifie l'inégalité 0 \lt a-u_{10} \lt 10^{-9}.
Quelle est la valeur de u_{10} à 10^{-8} près ?
À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, on obtient :
La valeur de u_{10} à 10^{-8} près est d'environ 0,38980784.
On en déduit même grâce à l'inégalité de l'énoncé que la valeur du réel a est environ égale u_{10}.