Etude d'un cas concret à l'aide d'une suite Exercice type bac

Soit (\(\displaystyle{u_n}\)) la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et, pour tout entier naturel n, par la relation \(\displaystyle{u_{n+1} = au_{n} + b}\) ( \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) réels non nuls tels que \(\displaystyle{a ≠ 1}\) ). On considère la suite \(\displaystyle{v_n}\) définie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) par la relation \(\displaystyle{v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}}\).

Quelle est la nature de la suite (\(\displaystyle{v_n}\)) ?

si \(\displaystyle{a}\) appartient à l'intervalle \(\displaystyle{\left] −1 ; 1\right[}\), quelle est alors la limite de la suite (\(\displaystyle{u_n}\)) ?

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\), on note \(\displaystyle{h_{n}}\) la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \(\displaystyle{\left(2\ 015 + n\right)}\).

a

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

Quelle expression de \(h_{n+1}\) en fonction de \(h_n\) convient ?

b

Quel est le sens de variation de la suite (\(\displaystyle{h_{n}}\)) ?

c

Si la suite (\(\displaystyle{h_{n}}\)) est convergente, quelle est sa limite ?

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