Etude d'un cas concret à l'aide d'une suiteExercice type bac

Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u_0 et, pour tout entier naturel n, par la relation u_{n+1} = au_{n} + b ( a et b réels non nuls tels que a ≠ 1 ). On considère la suite v_n définie pour tout entier naturel n par la relation v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}.

Quelle est la nature de la suite (v_n) ?

si a appartient à l'intervalle \left] −1 ; 1\right[, quelle est alors la limite de la suite (u_n) ?

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?

Pour tout entier naturel n, on note h_{n} la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année \left(2\ 015 + n\right).

a

Soit n\in\mathbb{N}.

Quelle expression de h_{n+1} en fonction de h_n convient ?

b

Quel est le sens de variation de la suite (h_{n}) ?

c

Si la suite (h_{n}) est convergente, quelle est sa limite ?

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