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Dernière modification : 22/04/2026 - Conforme au programme 2025-2026
Moyenne
Soit une série statistique représentée par les couples (x_i; n_i) où les x_i sont les valeurs de la série et les n_i leurs effectifs respectifs. La moyenne de la série, généralement notée \bar{x}, est le réel :
\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_p x_p}{n}
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 12,5 | 13 | 14 |
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 |
L'effectif total est 1 + 3 + 5 + 6 + 2 + 5 + 6 = 28. On peut ainsi calculer la moyenne pondérée :
\bar{x} = \dfrac{5\times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 + 10 \times 6 + 12.5 \times 2 + 13 \times 5 + 14 \times 6}{28} = 11
Pour des données regroupées en classes, on utilise le centre de chaque classe comme valeur pour n_i.
Écart type
On définit l'écart type, noté \sigma, comme la racine carrée de la variance :
\sigma = \sqrt{V}
\sigma est bien défini puisque V\geq 0.
On considère la série statistique de variance V = 1{,}6875 :
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 42 | 44 | Total |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 5 | 1 | 1 | 12 |
L'écart type est donc :
\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{1{,}6875} \approx 1{,}299038
La variance donne une mesure de la valeur moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle fournit donc une indication sur la dispersion des données par rapport à la moyenne. On ne peut pas l'utiliser directement comme indicateur de dispersion car elle ne s'exprime pas dans la même unité que les valeurs de la série. C'est pourquoi on a défini l'écart type.
Étendue
L'étendue d'une série quantitative est égale à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 10,5 | 11 | 13 | 14 | 14,5 | 16 |
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 | 1 | 2 | 1 |
L'étendue est donc de 16-5 = 11.
Médiane
On appelle médiane d'une série rangée par ordre croissant toute valeur qui partage la série en deux séries de même effectif.
La médiane est donc une valeur telle que 50 % des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane et 50 % lui sont inférieures ou égales.
On considère une série dont les valeurs des n individus sont rangées par ordre croissant.
- Si n est impair, on prend en général pour médiane la \dfrac{n+1}{2}-ième valeur de la série ordonnée.
- Si n est pair, on prend en général pour médiane le centre de l'intervalle \left[ \dfrac{n}{2}\text{-ième valeur } ; \dfrac{n}{2} + 1\text{-ième valeur} \right].
Une médiane de la série 3, 5, 6, 11, 14, 21, 27 est la valeur 11. En effet, l'effectif est n=7, on choisit donc la valeur de rang \dfrac{7+1}{2} = 4, qui correspond à la valeur 11.
Lorsque les valeurs sont présentées sous forme de tableau, on peut se servir des effectifs cumulés croissants pour déterminer la médiane.
On considère la série statistique suivante, avec un effectif total égal à 10 :
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 44 |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 4 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 5 | 9 | 10 |
L'effectif vaut 10, c'est un nombre pair. On prend comme médiane la moyenne des 5e et 6e valeurs de l'effectif cumulé. On se sert des effectifs cumulés croissants pour lire que :
- la 5e valeur est 40 ;
- la 6e valeur est 41 car 5 < 6 \leq 9.
On dit alors que la médiane est \dfrac{40+41}{2} = 40{,}5.
Premier quartile
Le premier quartile est la plus petite valeur, notée Q_1, d'une série rangée par ordre croissant telle qu'au moins 25 % de l'effectif lui soit inférieur ou égal.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 8 : 3, 4, 5, 6, 11, 14, 21, 27.
Comme \dfrac{25}{100} \times 8 = 2, le premier quartile de cette série est son deuxième élément, soit 4.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 7 : 10, 12, 13, 14, 19, 31, 41.
Comme \dfrac{25}{100}\times 7 = 1{,}75, le premier quartile de cette série est son deuxième élément, soit 12.
Troisième quartile
Le troisième quartile est la plus petite valeur, notée Q_3, d'une série rangée par ordre croissant, telle qu'au moins 75 % de l'effectif lui soit inférieur ou égal.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 8 : 3, 4, 5, 6, 11, 14, 21, 27.
Comme \dfrac{75}{100} \times 8 = 6, le troisième quartile de cette série est son sixième élément, soit 14.
On considère la série suivante issue d'un échantillon de taille 7 : 10, 12, 13, 14, 19, 31, 41.
Comment \dfrac{75}{100}\times 7 = 5{,}25, le troisième quartile de cette série est son sixième élément, soit 31.
Lorsqu'on a un tableau avec les fréquences cumulées croissantes :
- On choisit comme premier quartile la plus petite valeur pour laquelle on obtient une fréquence cumulée croissante supérieure à 25 %.
- On choisit comme troisième quartile la plus petite valeur pour laquelle on obtient une fréquence cumulée croissante supérieure à 75 %.
On considère la série statistique suivante, avec un effectif total égal à 10.
| Pointure x_i | 39 | 40 | 41 | 44 |
| Effectif n_i | 2 | 3 | 4 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 5 | 9 | 10 |
| Fréquences cumulées croissantes | 0,2 | 0,5 | 0,9 | 1 |
40 est la plus petite valeur pour laquelle la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 0{,}25 = 25 \text{ \%}. C'est donc le premier quartile.
41 est la plus petite valeur pour laquelle la fréquence cumulée croissante est supérieure ou égale à 0{,}75 = 75 \text{ \%}. C'est donc le troisième quartile.