Déterminer la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série statistiqueMéthode

La moyenne d'une série statistique, notée \overline{x}, donne la valeur prise en moyenne dans la série. La variance, notée V, et l'écart-type, noté \sigma, donnent une évaluation de l'écart des valeurs prises par rapport à la moyenne.

Lorsqu'une série statistique est donnée, on sait calculer ces trois grandeurs.

On donne la série statistique suivante :

x_i 1 2 3 4 5 6 7
n_i 3 11 10 9 11 4 1

Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de cette série.

Etape 1

Calculer les x_in_i et les \left(x_i\right)^2n_i

Dans le tableau statistique, on donne les valeurs x_i et les effectifs n_i. On ajoute une ligne dans laquelle on calcule les produits x_in_i et une ligne dans laquelle on calcule les produits n_i\left(x_i\right)^2.

On complète le tableau :

x_i 1 2 3 4 5 6 7
n_i 3 11 10 9 11 4 1
n_ix_i 3 22

30

36 55 24 7
n_i\left(x_i\right)^2 3 44 90 144 275 144 49
Etape 2

Calculer \overline{x}

On applique la formule \overline{x} =\dfrac{1}{N}\sum x_in_i et on simplifie l'expression obtenue.

On a \overline{x} =\dfrac{1}{N}\sum x_in_i.

Or d'après le tableau :

  • N = \sum n_i = 3+11+10+9+11+4+1=49
  • \sum x_in_i = 3+22+30+36+55+24+7=177

D'où :

\overline{x} =\dfrac{1}{49}\times 177

\overline{x} \approx 3,6

Etape 3

Calculer V et \sigma

On applique la formule V = \dfrac{1}{N} \sum \left(x_i\right)^2\times n_i - \left(\overline{x}\right)^2 et on simplifie l'expression.

On calcule ensuite \sigma = \sqrt{V}.

On a V = \dfrac{1}{N} \sum \left(x_i\right)^2\times n_i - \left(\overline{x}\right)^2.

Or d'après le tableau :

  • N = \sum n_i = 3+11+10+9+11+4+1=49
  • \sum \left(x_i\right)^2\times n_i = 3+44+90+144+275+144+49 =749

On a aussi : \overline{x}=\dfrac{177}{49}

D'où :

V=\dfrac{1}{49}\times 749-\left(\dfrac{177}{49}\right)^2

V\approx 2,2

Et :

\sigma =\sqrt{\dfrac{1}{49}\times 749-\left(\dfrac{177}{49}\right)^2}

\sigma \approx 1,5

Lorsqu'une série est répartie en classes, on prend les centres de chaque classe comme valeurs pour les x_i. On peut ajouter cette ligne dans le tableau statistique pour plus de lisibilité.

Remplacer chaque classe par son centre lors du calcul de la moyenne, de la variance et de l'écart-type revient à faire l'hypothèse que les valeurs sont régulièrement réparties dans chaque classe. Tous les calculs sont du coup des résultats approchés puisqu'ils sont obtenus sous cette hypothèse.

Taille (en cm) \left[ 140;150 \right[ \left[ 150;156 \right[ \left[ 156;160 \right[ \left[ 160;180 \right[
Centre de la classe x_i 145 153 158 170
Effectif n_i 3 11 10 9