Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalleMéthode

Méthode 1

En utilisant f'

Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Une fonction dérivable f est convexe lorsque sa dérivée est croissante et concave lorsque sa dérivée est décroissante.

Soit f une fonction définie et dérivable sur \left[ -3;3 \right]. On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée f'.

En déduire la convexité de f.

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Etape 1

Déterminer les variations de f'

On dresse le tableau de variations de f'. L'information peut être donnée dans l'énoncé, sur un graphique ou dans les questions précédentes.

Grâce à la représentation graphique de f', on obtient le tableau de variations suivant :

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Etape 2

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
  • Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.

D'après le cours :

  • Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
  • Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.
Etape 3

Conclure

À l'aide du tableau de variations de f', on conclut sur la convexité de f en donnant les intervalles sur lesquels elle est convexe ou concave.

Ainsi :

  • f est concave sur \left[ -3;-1 \right] et sur \left[ 0;3 \right].
  • f est convexe sur \left[ -1;0 \right].
Méthode 2

En utilisant f''

Une fonction deux fois dérivable f est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive et concave lorsque sa dérivée seconde est négative.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-3x+2

Étudier la convexité de f.

Etape 1

Calculer f''

On justifie que f est dérivable et on calcule f'\left(x\right).

Ensuite, on justifie que f' est dérivable et on calcule f''\left(x\right).

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynomiale et :

\forall x \in \mathbb{R},\ f^{'}\left(x\right)=6x^2+x-3

f' est également dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynomiale et :

\forall x \in \mathbb{R},\ f^{''}\left(x\right)=12x+1

Etape 2

Déterminer le signe de f''

On détermine le signe de f'' et on récapitule le résultat dans un tableau de signes.

Étudions le signe de la dérivée seconde :

Pour tout réel x, f^{''}\left(x\right)\gt0 \Leftrightarrow 12x+1\gt0

\Leftrightarrow12x\gt -1

\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{1}{12}

On obtient donc le tableau de signes suivant :

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Etape 3

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
  • Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
  • Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.
Etape 4

Conclure

À l'aide du tableau de signes de f''\left(x\right), on donne les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.

Ainsi :

  • f est concave sur \left] -\infty;-\dfrac{1}{12} \right].
  • f est convexe sur \left[ -\dfrac{1}{12};+\infty \right[.
Méthode 3

À l'aide de la courbe représentative de f

Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.

Soit f la fonction définie sur \left[ -2;2 \right] dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Déterminer la convexité de f.

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Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
  • Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
  • Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.
Etape 2

Étudier la position de la courbe par rapport à ses tangentes

Grâce au graphique, on étudie la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

La courbe représentative de f est :

  • En dessous de ses tangentes sur \left[ -2;-1 \right] et sur \left[ 1;2 \right]
  • Au-dessus de ses tangentes sur \left[ -1;1 \right]
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Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.

On peut donc en déduire que :

  • f est concave sur \left[ -2;-1 \right] et sur \left[ 1;2 \right].
  • f est convexe sur \left[ -1;1 \right].