La planète Saturne, connue pour ses anneaux, compte pas moins de 80 satellites naturels ou « lunes ». La plus grande de ces lunes, Titan, n'est pas visible à l'œil nu. Elle a été découverte en 1655 par Christian Huygens (1629-1695) grâce à une lunette astronomique de sa conception. L'une des lunes les plus proches de Saturne est Janus, découverte en 1966 par plusieurs astronomes dont le Français Audouin Dollfus (1924-2010).
Illustration tirée de : starwalk.space/fr
Cet exercice a plusieurs objectifs : justifier l'utilisation d'une lunette astronomique pour observer Titan (parties A et B), étudier ses limites d'observation (partie C), puis étudier le mouvement des anneaux et de Janus (partie D).
Données :
- Le diamètre apparent d'un objet, noté \theta, est l'angle sous lequel un objet AB est vu par un observateur :
Document 1 : Diamètre apparent d'un objet et pouvoir séparateur de l'œil.
- Le pouvoir séparateur de l'œil, noté \epsilon, est la valeur minimale de l'angle sous lequel les deux points A et B peuvent être vus séparément. Pour l'œil humain, \epsilon = 3.10^{-4} \text{ rad}.
- Distance moyenne Titan-Terre : D = 1{,}43.10^9 \text{ km}.
- Diamètre de Titan : d = 5{,}2.10^3 \text{ km}.
- Angle sous lequel est vue la lune Janus depuis la Terre : \theta_J= 1{,}3.10^{-7} \text{ rad}.
- Dans tout l'exercice, les angles sont suffisamment petits pour que l'on puisse faire l'approximation : tan \ \theta \approx \theta, avec \theta en radians.
Partie A ‒ Observation de Titan à l'œil nu
Quelle proposition montre que l'angle \theta sous lequel se présente Titan depuis la Terre vaut approximativement 3{,}6.10^{-6} \text{ rad} ?
Dans l'approximation des petits angles :
tan \ \theta \approx \theta
Et d'après le document 1 :
tan \ \theta = \dfrac{\text{diamètre de Titan}}{\text{distance Terre - Titan}}= \dfrac{d}{D}
D'où :
\theta \approx \dfrac{d}{D}
\theta \approx \dfrac{5{,}2.10^3}{1{,}43.10^9}
\theta \approx 3{,}6.10^{-6} \text{ rad}
Quelle proposition justifie que Titan n'est pas observable à l'œil nu ?
Étant donné que \theta \lt \epsilon= 3.10^{-4} \text{ rad}, Titan n'est pas observable à l'œil nu.
Par déduction, quelle est la valeur G_{\text{min}} du grossissement minimal que doit avoir un instrument d'optique, telle une lunette, pour observer Titan depuis la Terre ?
Le grossissement G d'un instrument d'optique est G= \dfrac{\theta'}{\theta}, avec \theta et \theta' respectivement les angles sous lesquels l'objet est vu à l'œil nu et à travers un instrument d'optique.
Le grossissement minimal G_{\text{min}} correspond au cas où \theta' =\epsilon =3.10^{-4} \text{ rad}.
D'où :
G_{\text{min}}= \dfrac{\epsilon}{\theta}
G= \dfrac{3.10^{-4}}{3{,}6.10^{-6}}
G=83
Partie B ‒ Observation de Titan à l'aide d'une lunette astronomique
Une élève se rend à l'Observatoire historique de Marseille pour observer Saturne et ses satellites. Elle fait ses observations à l'aide d'une lunette astronomique dont les caractéristiques sont données ci-dessous :
- Objectif, distance focale f'_{\text{ob}} = 3{,}10 \text{ m} et diamètre d_{\text{ob}} = 260 \text{ mm}.
- Pour l'oculaire, trois distances focales f'_{\text{oc}} sont possibles : 12 mm, 25 mm, 40 mm.
Le schéma de principe modélisant cette lunette est le suivant :
Schéma de principe modélisant une lunette astronomique
L'objet A_ \infty B_ \infty observé est situé à l'infini, il est perpendiculaire à l'axe optique ; le point A_ \infty est sur l'axe optique. Seuls quelques rayons issus de B_ \infty sont représentés. Les angles ne sont pas à l'échelle. On rappelle qu'un système optique est dit « afocal » s'il donne d'un objet à l'infini une image à l'infini.
Dans quelle proposition a-t-on correctement identifié l'objectif et l'oculaire sur le schéma de principe de la lunette ?
- L'objectif est la lentille située du côté de l'objet à observer : il s'agit de la lentille L_1.
- L'oculaire est la lentille située du côté de l'œil : il s'agit de la lentille L_2.
Sur quelle construction les foyers F_2 et F'_2 de l'oculaire sont-ils correctement placés ?
On sait que dans une lunette afocale :
- le foyer objet F_2 de l'oculaire est confondu avec le foyer image F_1' de l'objectif ;
- le foyer image F_2' de l'oculaire est le symétrique du foyer objet F_2 par rapport au centre optique O_2 de l'oculaire.
D'où la représentation suivante :
Quelle est la construction correcte de la marche complète des rayons lumineux incidents issus du point B_ \infty et qui fait apparaître l'image intermédiaire B_ 1 donnée par la lentille L_ 1 ?
En traçant la marche du rayon qui passe par le foyer objet de l'objectif et qui ressort parallèle à l'axe optique, on détermine la position du point B_1, image intermédiaire du point B_ \infty. Ce rayon passant par le point B_1 et parallèle à l'axe optique ressort de l'oculaire en passant par son foyer image F_2' :
Les autres rayons issus de B _ \infty émergent de l'objectif en passant aussi par le point B _ 1 :
L'image formée par l'oculaire étant située à l'infini, tous les rayons émergent de l'oculaire parallèles à celui passant par le foyer image F_2' :
Dans quelle proposition établit-on correctement, à partir de la définition du grossissement G, que dans le cas d'une lunette afocale : G=\dfrac{f'_{\text{ob}}}{f'_{\text{oc}}} ?
Sur le schéma optique de la lunette, on repère les angles incident \theta et émergent \theta' dans les triangles qui s'appuient sur l'image intermédiaire A_1B_1 :
On peut alors exprimer leurs tangentes, en fonction des distances focales de l'objectif et de l'oculaire et de la taille de l'image intermédiaire :
- \tan({\theta}) = \dfrac{A_1B_1}{f_{ob}'}
- \tan({\theta'}) = \dfrac{A_1B_1}{f_{oc}'}
Dans l'approximation des petits angles, \tan({\theta}) \approx \theta_{(\text{rad})} et \tan({\theta'}) \approx \theta'_{(\text{rad})}.
D'où :
G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_{oc}'}}{\dfrac{A_1B_1}{f_{ob}'}}\\
G = \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'}
Parmi les différents oculaires disponibles, lequel permet d'obtenir le grossissement maximal et pourquoi ?
Le grossissement de la lunette étant inversement proportionnel à la distance focale de l'oculaire f'_{oc}, le grossissement maximal est obtenu avec la distance focale de l'oculaire la plus petite soit f'_{oc} = 12 \text{ mm}.
Est-il possible d'observer chacune des deux lunes, Titan et Janus, à l'aide de cette lunette ?
À partir de la relation G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{f_{oc}'}{f_{ob}'}, on isole l'angle sous lequel un astre est vu au travers de la lunette :
\theta'= \theta \times \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'}
Avec f'_{\text{ob}} = 3{,}10 \text{ m} et f'_{\text{oc}} = 12 \text{ mm} = 12.10^{-3} \text{ m}.
Ainsi :
- Titan est vue sous l'angle \theta'_T= \theta_T\times \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'} = 3{,}6.10^{-6} \times \dfrac{3{,}1}{12.10^{-3}}= 9{,}3.10^{-4}\text{ rad}.
- Janus est vue sous l'angle \theta'_J= \theta_J\times \dfrac{f_{ob}'}{f_{oc}'} = 1{,}3.10^{-7} \times \dfrac{3{,}1}{12.10^{-3}}= 3{,}3.10^{-5}\text{ rad}.
Puisque \epsilon = 3.10^{-4} \text{ rad}, on a \theta'_T \gt \epsilon et \theta'_J \lt \epsilon : on peut observer Titan à travers la lunette astronomique de Marseille mais pas Janus.
Quelle estimation peut-on faire de la longueur L de la lunette de l'Observatoire de Marseille en s'appuyant sur le schéma de principe de la lunette et sur les valeurs des distances focales ?
La lunette étant afocale, on a :
L =O_1O_2=f'_{ob} + f'_{oc}
Pour l'oculaire de plus grande distance focale, on a f'_{oc} = 40 \text{ mm} = 40.10^{-3} \text{ m}.
D'où :
L=3{,}1+40.10^{-3}
L \approx 3{,}1 \text{ m}
Partie C ‒ Limites d'observation de la lunette astronomique
Le grossissement de la lunette n'est pas une donnée suffisante pour être assuré d'observer correctement Titan.
En effet, la lunette astronomique devrait former, à partir d'un point objet, un point image. Mais le caractère ondulatoire de la lumière entraîne la formation d'une tache à la place du point image souhaité. Cette tache, provoquée par la monture de l'objectif de diamètre d_{\text{ob}}, est constituée de cercles lumineux concentriques et appelée tache d'Airy (voir ci-dessous).
Tache d'Airy
Ce phénomène limite le pouvoir de résolution de la lunette :
Le pouvoir de résolution est lié à la capacité à discerner les détails à travers un système optique (microscope, télescope, lunette, œil, etc.). Il est caractérisé par un angle \alpha.
Pour une lunette, il a pour expression :
\alpha = \dfrac{1{,}22 \times \lambda}{d_{\text{ob}}}
où \lambda est la longueur d'onde du faisceau incident et d_{\text{ob}} le diamètre de l'objectif.
La lunette astronomique permet de distinguer deux points à condition que l'écart angulaire \theta' entre ces deux points soit supérieur ou égal à l'angle \alpha (voir figures ci-dessous).
Quel est le phénomène physique qui limite le pouvoir de résolution de la lunette ?
Le phénomène qui limite le pouvoir de résolution de la lunette est la diffraction de la lumière par l'objectif.
Un critère retenu pour voir correctement Titan est de pouvoir distinguer ses pôles, repérés par les points A et B (schéma ci-dessous).
Pour la longueur d'onde du visible \lambda= 550\text{nm} et pour un grossissement G = 260, quelle proposition vérifie que la lunette permet d'observer Titan correctement ?
Pour savoir si la lunette permet d'observer Titan correctement, il faut comparer \theta' à \alpha.
- \theta' est l'angle sous lequel Titan est vue à travers la lunette : \theta'_T= \theta_T\times G = 3{,}6.10^{-6} \times 260= 9{,}4.10^{-4}\text{ rad}.
- \alpha caractérise le pouvoir de résolution de la lunette, avec \lambda = 550 \text{ nm} =550.10^{-9} \text{ m} et d_{\text{ob}} = 260 \text{ nm} = 260.10^{-3}\text{ m} : \alpha = \dfrac{1{,}22 \times 550.10^{-9}}{260.10^{-3}} = 2{,}6.10^{-6} \text{ rad}.
On a donc \theta' \gt \alpha : les deux points A et B des pôles de Titan peuvent être séparés et la lunette permet d'observer Titan correctement.
Pourquoi est-il préférable d'utiliser des lunettes avec un objectif ayant un grand diamètre d'ouverture ?
Pour une longueur d'onde \lambda donnée, le pouvoir de résolution \alpha est d'autant plus petit que le diamètre de l'objectif est grand. C'est la raison pour laquelle il est préférable d'utiliser un objectif ayant un grand diamètre d'ouverture.
Partie D ‒ Autour de Saturne
Les anneaux de Saturne semblent continus depuis la Terre. En réalité, ils sont constitués de morceaux de glace et de poussières dont la taille maximale est de l'ordre de quelques centaines de mètres. Chacun de ces morceaux, tout comme les lunes en orbite autour de Saturne, obéit aux lois du mouvement d'un satellite dans un champ de gravitation.
Données :
- Rayon de Saturne : R_S = 58{,}2.10^3 \text{ km}.
- Rayon intérieur du premier anneau : r_\text{int} = 6{,}69.10^4 \text{ km}.
- Rayon extérieur du premier anneau : r_\text{ext} = 7{,}45.10^4 \text{ km}.
- Rayon extérieur du dernier anneau : R_\text{ext} = 1{,}36.10^5 \text{ km}.
- Rayon de l'orbite de Janus : R_\text{J} = 1{,}51.10^5 \text{ km}.
- Constante de gravitation universelle : G = 6{,}67.10^{-11} \text{ m}^3\text{ km}^{-1}\text{ s}^{-2}.
La vitesse v, constante, d'un satellite de masse m en orbite circulaire autour de Saturne est donnée par la relation :
v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}} (relation 1)
Où r est le rayon constant de l'orbite du satellite et M_S la masse de Saturne.
En utilisant la deuxième loi de Newton et la loi d'interaction gravitationnelle, quelle démarche permet de retrouver la relation 1 ?
L'expression vectorielle de la force d'attraction entre Saturne (de masse M_S) et un de ses satellites (de masse m) est :
\overrightarrow{F}=G \times\dfrac{M_\text{S} \times m}{r^2} \; \overrightarrow{u_N}
La deuxième loi de Newton appliquée au satellite dans le référentiel lié au centre de Saturne et considéré comme galilléen donne :
m \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}
Soit :
m\times(\overrightarrow{a_N}+\overrightarrow{a_T})=G \times\dfrac{M_\text{S} \times m}{r^2} \; \overrightarrow{u_N}
D'où :
a_T . \overrightarrow{u_T}+a_N.\overrightarrow{u_N}=G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2} \; \overrightarrow{u_N}
Les composantes du vecteur accélération du satellite sont donc :
- a_T= 0
- a_N =G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2}
Et puisque les composantes du vecteur accélération dans le repère mobile sont :
- a_T= \dfrac{dv}{dt}
- a_N =\dfrac{v^2}{r}
On a :
- a_T= \dfrac{dv}{dt} = 0
- a_N =\dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2}
On peut enfin isoler la vitesse du satellite :
\dfrac{v^2}{r}= G \times\dfrac{M_\text{S}}{r^2} \Leftrightarrow v= \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{r}}
Montrer que l'expression de la vitesse du satellite permet de retrouver la troisième loi de Kepler qui relie la période T du satellite au rayon r de son orbite :
T^2 = k.r^3 avec k = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_S}
On sait que v = \sqrt{\frac{G \times M }{r} }.
La période de révolution T du satellite correspond à la durée qu'il met pour effectuer un tour complet autour de Saturne. Pendant la durée T, le corps céleste parcourt donc une distance égale à la circonférence de son orbite circulaire, soit 2 \pi r.
Sa vitesse peut donc aussi s'écrire v = \dfrac{2\pi r}{T}.
On a donc :
v = \dfrac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{G \times M_S}{r} }
Pour isoler la période de révolution T, on élève les deux termes au carré :
\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G \times M_S }{r}
Ce qui donne :
T^2 = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G \times M_S }
On peut aussi écrire :
T^2 = k.r^3 avec k = \dfrac{4 \pi^2}{G \times M_S}
Quelle est la masse de Saturne sachant que la période de révolution de Janus est de 17 heures ?
La période de révolution de Janus autour de Saturne peut s'écrire ainsi :
T_J^2 = \dfrac{4\pi^2 R_J^3}{G \times M_S }
Cette relation permet d'isoler la masse de Saturne :
M_S= \dfrac{4\pi^2 R_J^3}{G \times T_J^2 }
Avec T_J = 17 \text{ h} = 17 \times 3\ 600 \text{ s} et R_J = 1{,}51.10^5 \text{ km} = 1{,}51.10^8 \text{ m}.
D'où :
M_S= \dfrac{4\pi^2 (1{,}51.10^8)^3}{6{,}67.10^{-11} \times (17 \times 3\ 600)^2 }
M_S= 5{,}4.10^{26} \text{ kg}
Quelle proposition justifie qualitativement que tous les corps du premier anneau ne tournent pas à la même vitesse autour de Saturne ?
Puisque v = \sqrt{\frac{G \times M }{r} }, la vitesse v d'un satellite dépend de sa distance r au centre de Saturne. Les corps du premier anneau ont un rayon r qui varie entre r_{\text{int}} et r_{\text{ext}}, ils ont donc des vitesses différentes (v_{\text{int}} > v_{\text{ext}}) et ne tournent donc pas à la même vitesse autour de Saturne.
Quel est le nombre de tours effectués par la bordure interne du premier anneau, située à la distance r_{\text{int}}, pendant que la bordure externe du dernier anneau, située à r_{\text{ext}}, réalise un tour complet ?
Pour comparer la période de révolution T_{\text{ext}} d'un corps sur le rayon extérieur r_{\text{ext}} du dernier anneau à celle T_{\text{int}} d'un corps sur le rayon intérieur r_{\text{int}} du premier anneau, on exprime le rapport suivant :
\dfrac{T^2_{\text{ext}}}{T^2_{\text{int}}} =\dfrac{\dfrac{4\pi^2 R_{\text{ext}}^3}{G \times M_S }}{\dfrac{4\pi^2 R_{\text{int}}^3}{G \times M_S }}
Soit, après simplification :
\dfrac{T^2_{\text{ext}}}{T^2_{\text{int}}} =\dfrac{R_{\text{ext}}^3}{R_{\text{int}}^3}
(\dfrac{T_{\text{ext}}}{T_{\text{int}}} )^2=(\dfrac{R_{\text{ext}}}{R_{\text{int}}})^3
D'où :
\dfrac{T_{\text{ext}}}{T_{\text{int}}} =(\dfrac{R_{\text{ext}}}{R_{\text{int}}})^{3/2}
Et finalement l'application numérique :
\dfrac{T_{\text{ext}}}{T_{\text{int}}} =(\dfrac{1{,}36.10^5}{6{,}69.10^4})^{3/2} =2{,}9
Ainsi, la période de révolution d'un corps sur le rayon extérieur du dernier anneau est environ égale à trois fois celle d'un corps sur le rayon intérieur du premier anneau : la bordure interne du premier anneau effectue environ 3 tours pendant que sa bordure externe réalise un tour complet.