Dans cet exercice, on se propose d'étudier le fonctionnement d'une lunette afocale, et en particulier son grossissement.
Cette lunette est composée de deux lentilles de même axe optique :
- L_1 de distance focale f_1 ;
- L_2 de distance focale f_2.
Données :
- objectif : diamètre 80 mm, de focale 640 mm ;
- oculaires : trois oculaires interchangeables de focale 20 mm ; 12,5 mm ; 6 mm.
Quelle condition doit-on imposer aux deux lentilles pour que la lunette soit afocale ?
Dans une lunette afocale, le foyer objet de l'oculaire F_2 est confondu avec le foyer image de l'objectif F'_1. C'est la condition pour que le faisceau lumineux émergeant de la lunette afocale soit parallèle. Ainsi, l'image formée est rejetée à l'infini, ce qui permet une vision sans fatigue.
Le foyer objet de l'oculaire F_2 est donc confondu avec le foyer image de l'objectif F'_1.
On appelle \alpha l'angle entre l'axe optique et un rayon issu de B (B situé à l'infini) comme indiqué sur la figure ci-dessous. On appelle \alpha' l'angle entre l'axe optique et le faisceau lumineux sortant de L_2 venant de B_1. Le grossissement d'une lunette est défini par G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}. On considère que \alpha et \alpha' sont petits.
Quelles sont les conditions de Gauss ?
Pour obtenir un stigmatisme rigoureux (à un point objet A ne correspond qu'un seul point image A' par une lentille), il faut :
- éliminer les rayons trop éloignés de l'axe optique (prendre des objets de petites dimensions proche de l'axe optique) ;
- éliminer les rayons faisant un angle trop important avec l'axe optique (utiliser un diaphragme).
Dans les conditions du problème, quelle est la valeur du grossissement ?
Sur la figure précédente, on repère les angles \alpha et \alpha' :
On peut alors exprimer leurs tangentes, en fonction des distances focales de l'objectif et de l'oculaire et de la taille de l'image intermédiaire :
- \tan({\alpha}) = \dfrac{A_1B_1}{f_1'}
- \tan({\alpha'}) = \dfrac{A_1B_1}{f_2'}
D'après l'énoncé, ces angles sont très faibles. On peut donc utiliser les approximations \tan({\alpha}) \approx \alpha_{(\text{rad})} et \tan({\alpha'}) \approx \alpha'_{(\text{rad})}.
Or, le grossissement est égal au quotient des angles \alpha et \alpha' :
G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}
D'où :
G = \dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_2'}}{\dfrac{A_1B_1}{f_1'}}\\
Ainsi, G = \dfrac{f_1'}{f_2'}.
Parmi les agrandissements suivants, lequel ne correspond pas à la lunette afocale ?
D'après la question précédente, on a G = \dfrac{f_1'}{f_2'}. En utilisant les données de l'énoncé, on trouve que le seul grandissement qui ne peut correspondre à la lunette afocale est 43.