Dans cet exercice, on se propose d'établir l'expression du grossissement d'une lunette afocale.
Cette lunette est composée de deux lentilles de même axe optique :
- L_1 de distance focale f_1 ;
- L_2 de distance focale f_2.
À quelle condition peut-on dire que la lunette est afocale ?
Dans une lunette afocale, le foyer objet de l'oculaire F_2 est confondu avec le foyer image de l'objectif F'_1. C'est la condition pour que le faisceau lumineux émergeant de la lunette afocale soit parallèle. Ainsi, l'image formée est rejetée à l'infini, ce qui permet une vision sans fatigue.
Le foyer objet de l'oculaire F_2 est donc confondu avec le foyer image de l'objectif F'_1.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à la construction correcte de l'image d'un objet situé à l'infini formée par la lunette afocale ?
L'objet AB étant situé à l'infini, l'objectif L_1 en forme une image intermédiaire, notée A_1B_1 dans son plan focal image :
Cette image intermédiaire A_1B_1 sert d'objet pour l'oculaire L_2 qui forme alors l'image définitive A'B'. L'image intermédiaire A_1B_1 étant dans le plan focal objet de l'oculaire L_2, les rayons émergent de cette lentille parallèles entre eux, ce qui signifie que l'image définitive A'B' est rejetée à l'infini.
On repère sur la figure obtenue à la question précédente deux angles \alpha et \alpha' :
Quelle est l'expression de ces angles ?
Sur la figure ci-dessus, on a repéré les angles \alpha et \alpha'.
En utilisant la formule \text{tan}(\theta) = \dfrac{\text{Côté opposé}}{\text{Côté adjaçent}}.
On peut alors exprimer leurs tangentes, en fonction des distances focales de l'objectif et de l'oculaire et de la taille de l'image intermédiaire :
- \tan({\alpha}) = \dfrac{A_1B_1}{f_1'}
- \tan({\alpha'}) = \dfrac{A_1B_1}{f_2'}
Ainsi, l'expression des angles \alpha et \alpha' est :
- \tan({\alpha}) = \dfrac{A_1B_1}{f_1'}
- \tan({\alpha'}) = \dfrac{A_1B_1}{f_2'}
Quelle est l'expression du grossissement de la lunette en fonction de f_1' et f_2' ?
Donnée : \alpha et \alpha ' étant très petits devant 1, on peut écrire \text{tan}(\alpha_{(\text{rad})})=\alpha_{(\text{rad})} et \text{tan}(\alpha'_{(\text{rad})})=\alpha'_{(\text{rad})}.
On sait que :
- \tan({\alpha}) = \dfrac{A_1B_1}{f_1'}
- \tan({\alpha'}) = \dfrac{A_1B_1}{f_2'}
Dans une vraie lunette afocale, ces angles sont très faibles. On peut donc utiliser les approximations \tan({\alpha}) \approx \alpha_{(\text{rad})} et \tan({\alpha'}) \approx \alpha'_{(\text{rad})}.
Or, le grossissement est égal au quotient des angles \alpha et \alpha' :
G = \dfrac{\alpha'}{\alpha}
D'où :
G = \dfrac{\dfrac{A_1B_1}{f_2'}}{\dfrac{A_1B_1}{f_1'}}
G = \dfrac{f_1'}{f_2'}
L'expression du grossissement de la lunette en fonction de f_1' et f_2' est donc G = \dfrac{f_1'}{f_2'}.