Le physicien suisse Balmer (1825 - 1898), a montré que les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène suivent une loi simple, donnée par :
E_{n} = \dfrac{E_{0} }{n^{2}} pour n\gt0 (le niveau fondamental étant donc noté E_{1} ), avec E_{0} = -13{,}6 eV
On souhaite étudier le comportement de l'atome d'hydrogène selon cette loi.
Données :
- c = 3{,}00 \times 10^{8} m.s-1
- h = 6{,}62 \times 10^{-34} J.s
- 1 eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J
Quelles sont les valeurs des niveaux d'énergie 1 à 7 en électrons-volts ?
Pour déterminer les valeurs des niveaux d'énergie, on applique la formule de l'énoncé en changeant chaque fois la valeur de n.
E_{n} = \dfrac{E_{0} }{n^{2}} donc on en déduit :
- E_{1} = \dfrac{-13{,}6 }{1^{2}} = -13{,}6 eV
- E_{2} = \dfrac{-13{,}6 }{2^{2}} = -3{,}40 eV
- E_{3} = \dfrac{-13{,}6 }{3^{2}} = -1{,}51 eV
- E_{4} = \dfrac{-13{,}6 }{4^{2}} = -0{,}85 eV
- E_{5} = \dfrac{-13{,}6 }{5^{2}} = -0{,}54 eV
- E_{6} = \dfrac{-13{,}6 }{6^{2}} = -0{,}38 eV
- E_{7} = \dfrac{-13{,}6 }{7^{2}} = -0{,}28 eV
Les valeurs des niveaux d'énergie sont :
- E_{1} = -13{,}6 eV
- E_{2} = -3{,}40 eV
- E_{3} = -1{,}51 eV
- E_{4} = -0{,}85 eV
- E_{5} = -0{,}54 eV
- E_{6} = -0{,}38 eV
- E_{7} = -0{,}28 eV
L'illustration ci-dessous montre le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène.
Il présente 4 raies visibles, dont les longueurs d'onde sont :
- 409 nm
- 433 nm
- 486 nm
- 657 nm
On les appelle raies de Balmer.
Pour chaque longueur d'onde, quelle est l'énergie du photon associée ?
Un photon de fréquence v possède une énergie donnée par la formule suivante :
E = h \times \nu
En fonction de la longueur d'onde, cela donne :
E = h \times \dfrac{c}{\lambda}
Avec :
- h, la constante de Planck qui vaut 6{,}62\times 10^{-34} J.s
- \lambda , la longueur d'onde du photon étudié (m)
- c, la vitesse de la lumière qui vaut 3{,}00\times 10^{8} m.s-1
- E, l'énergie du photon (J)
Application numérique
En faisant l'application numérique, pour les quatre longueurs d'onde, (on convertit les longueurs d'onde en m) on trouve :
- E_{\lambda_{1}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{409\times 10^{-9}} = 4{,}86\times 10^{-19} J
- E_{\lambda_{2}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{433\times 10^{-9}} = 4{,}59\times 10^{-19} J
- E_{\lambda_{3}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{486\times 10^{-9}} = 4{,}09\times 10^{-19} J
- E_{\lambda_{4}} = 6{,}62\times 10^{-34} \times \dfrac{3{,}00\times 10^{8}}{657\times 10^{-9}} = 3{,}02\times 10^{-19} J
Conversion en eV
Comme le résultat est demandé en électrons-volts, on convertit (1 eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J) :
- E_{\lambda_{1}} = \dfrac{4{,}86\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 3{,}04 eV
- E_{\lambda_{2}} = \dfrac{4{,}59\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 2{,}87 eV
- E_{\lambda_{3}} = \dfrac{4{,}09\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 2{,}56 eV
- E_{\lambda_{4}} = \dfrac{3{,}02\times 10^{-19}}{1{,}60\times 10^{-19}} = 1{,}89 eV
L'énergie du photon associée à chaque longueur d'onde est :
- E_{\lambda_{1}} = 3{,}04 eV
- E_{\lambda_{2}} = 2{,}87 eV
- E_{\lambda_{3}}= 2{,}56 eV
- E_{\lambda_{4}} = 1{,}89 eV
Ces quatre raies de Balmer sont le fruit de l'émission d'un photon suite à une transition électronique entre un niveau d'énergie donné vers le niveau d'énergie 2.
Quelle est l'énergie des photons émis lors d'une transition depuis le niveau n vers le niveau 2, pour 2\lt n\lt8 ?
On détermine l'énergie E_{n\ce{->}2} des photons émise lors d'une transition depuis le niveau n vers le niveau 2 en soustrayant à l'énergie du niveau initial n celle du niveau atteint 2.
On a donc :
E_{n\ce{->}2} = E_{n} - E_{2}
En faisant l'application pour les différentes transitions électroniques, on obtient :
- E_{3\ce{->}2} = E_{3} - E_{2} = -1{,}51 + 3{,}40 = 1{,}89 eV
- E_{4\ce{->}2} = E_{4} - E_{2} = -0{,}85 + 3{,}40 = 2{,}55 eV
- E_{5\ce{->}2} = E_{5} - E_{2} = -0{,}54 + 3{,}40 = 2{,}86 eV
- E_{6\ce{->}2} = E_{6} - E_{2} = -0{,}38 + 3{,}40 = 3{,}02 eV
- E_{7\ce{->}2} = E_{7} - E_{2} = -0{,}28 + 3{,}40 = 3{,}12 eV
L'énergie des photons émise au cours des différentes transitions est :
- E_{3\ce{->}2} = 1{,}89 eV
- E_{4\ce{->}2} = 2{,}55 eV
- E_{5\ce{->}2} = 2{,}86 eV
- E_{6\ce{->}2} = 3{,}02 eV
- E_{7\ce{->}2} = 3{,}12 eV
En s'appuyant sur les résultats des questions précédentes, dans quel état d'énergie se trouvait l'atome d'hydrogène avant l'émission de chaque raie ?
Remarque : les arrondis lors des calculs précédents peuvent donner des valeurs quasi égales et non exactes.
On compare les résultats des questions 2 et 3 :
La raie de longueur d'onde 409 nm correspond à un photon d'énergie 3,04 eV. Or cette valeur correspond approximativement à E_{6\ce{->}2} = 3{,}02 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 6 au niveau 2.
La raie de longueur d'onde 433 nm correspond à un photon d'énergie 2,87 eV. Or cette valeur correspond approximativement à E_{5\ce{->}2} = 2{,}86 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 5 au niveau 2.
La raie de longueur d'onde 486 nm correspond à un photon d'énergie 2,56 eV. Or cette valeur correspond approximativement à E_{4\ce{->}2} = 2{,}55 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 4 au niveau 2.
La raie de longueur d'onde 657 nm correspond à un photon d'énergie 1,89 eV. Or cette valeur correspond, aux arrondis près, à E_{3\ce{->}2} = 1{,}89 eV.
Cette raie est donc émise lors d'une transition du niveau 3 au niveau 2.
On en déduit que :
- Avant l'émission de la raie \lambda_{1}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{6}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{2}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{5}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{3}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{4}.
- Avant l'émission de la raie \lambda_{4}, l'atome d'hydrogène se trouvait dans l'état d'énergie initial E_{3}.