Etudier l'influence de l'altitude sur un champ de pesanteur Problème

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Dernière modification : 30/03/2019 - Conforme au programme 2018-2019

Le but de ce problème est d'étudier l'influence de l'altitude dans les expressions et les effets d'un champ de pesanteur.

Données :

G, la constante de gravitation universelle ( 6{,}67 \times 10^{-11} N.m².kg^-2)
m_{M} = 6{,}4185 \times 10^{23} kg, la masse de Mars
R_{M} = 3{,}386 \times 10^{3} km, le rayon de Mars

Quelle est l'expression littérale du champ de pesanteur martien au niveau du sol ?

g_{M} =\dfrac{G}{\dfrac{ m_{T}}{R_{T}^{2}}}

g_{M} =G \times \dfrac{ R_{M}^{2}}{m_{M}}

g_{M} = G \times \dfrac{ m_{M}}{R_{M}}

g_{M} = G \times \dfrac{ m_{M}}{R_{M}^{2}}

La force d'attraction gravitationnelle exercée par un corps A sur un corps B s'exprime à l'aide de la formule générale suivante :

F_{A/B} = G \times \dfrac{ m_{A}\times m_{B}}{d^{2}}

Avec :

G, la constante de gravitation universelle (N.m².kg^-2)
m_{A}, la masse du corps A (en kg)
m_{B}, la masse du corps B (en kg)
d, la distance séparant les deux corps (en m)

Ce que l'on peut aussi exprimer vectoriellement :

\overrightarrow{F_{A/B}} = \overrightarrow{g_{A}} \times m_{B}

Avec \overrightarrow{g_{A}} représentant le champ de gravitation exercé par le corps A, qu'il y ait ou non une masse m_{B} pour en subir les effets.

On déduit de ces deux formules une nouvelle expression de la valeur g_A :

g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}}

Appliquée à Mars, la distance séparant la surface de la planète de son centre de gravité étant le rayon de celle-ci, cela donne :

g_{M} = G \times \dfrac{ m_{M}}{R_{M}^{2}}

Que trouve-t-on en le calculant avec les données ? Est-ce comparable avec la valeur indiquée dans les tables ?

La valeur obtenue par le calcul est de 3,73 N/kg. Elle est de 3,71 N/kg dans les tables. À la dernière décimale près, elle est donc identique à celle calculée.

La valeur obtenue par le calcul est de 3,73 N/kg. Elle est de 3,71 N/kg dans les tables. Ces deux valeurs sont en effet comparables.

La valeur obtenue par le calcul est de 9,82 N/kg. Elle est de 9,81 N/kg dans les tables. À la dernière décimale près, elle est donc identique à celle calculée.

La valeur obtenue par le calcul est de 3,73 N/kg. Elle est de 9,811 N/kg dans les tables. Ces deux valeurs ne sont donc pas comparables.

On a donc :

g_{M} = G \times \dfrac{ m_{M}}{R_{M}^{2}}

En faisant l'application numérique après avoir effectué les conversions, on obtient :

g_{M} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 6{,}4114 \times 10^{23}}{\left(3{,}386 \times 10^{6}\right)^{2}}

g_{M} = 3{,}73 N/kg

Quelle est la valeur du champ de pesanteur au niveau du sommet du mont Olympe de hauteur 22,5 km ?

9,80 N/kg

3,73 N/kg

3,68 N/kg

3,71 N/kg

L'expression que l'on doit utiliser pour déterminer la valeur du champ de pesanteur est la même que dans la première question (g_{A} = G \times \dfrac{ m_{A}}{d^{2}}).

Ici, d ne correspond plus seulement au rayon de la planète car il faut y ajouter l'altitude h (par rapport à la surface) du niveau auquel on étudie la valeur du champ.

On a donc :

d = R_{M} + h

Soit :

d = 3{,}386 \times 10^{6} + 22{,}5 \times 10^3

d = 3{,}409 \times 10^{6} m

On en déduit donc la valeur du champ de pesanteur au sommet du volcan en faisant l'application numérique :

g_{M_{Olympe}} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{ 6{,}518 \times 10^{23}}{\left( 3{,}409 \times 10^{6}\right)^{2}}

g_{M_{Olympe}} = 3{,}68 N/kg

Quel est l'écart relatif avec la valeur au sol et que peut-on en dire ?

1,3%, ce qui est très faible donc il n'y aura pas de variation sensible.

0,2%, ce qui est extrêmement faible donc il n'y aura pas de variation sensible.

13%, ce qui n'est pas négligeable donc il y aura des variations sensibles entre la surface et cette altitude.

1,4%, ce qui est très faible donc il n'y aura pas de variation sensible.

L'écart relatif (noté ER) avec la valeur au sol se calcule de la manière suivante :

ER = \dfrac{\left| g_{M_{Olympe}} -g_{M_{surface}} \right|}{g_{M_{surface}}}

Soit en faisant l'application numérique :

ER = \dfrac{\left| 3{,}68 -3{,}73 \right|}{3{,}73}

ER = 1{,}3 \times 10^{-2}

Cela correspond à 1,3 %.

On a un écart relatif entre les deux valeurs de 1,3 %, ce qui est extrêmement faible, donc il n'y a pas de variation sensible.

À quelle altitude faut-il se placer pour que le champ de pesanteur soit quatre fois plus faible qu'à la surface de Mars ? Cela était-il prévisible ?

L'altitude recherchée ( h =3{,}39 \times 10^{6} m) a la même valeur que le rayon de la planète, ce qui n'était pas prévisible.

L'altitude recherchée ( h =6{,}36 \times 10^{6} m) a la même valeur que le rayon de la planète.
Cela était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.

L'altitude recherchée ( h =3{,}39 \times 10^{6} m) a la même valeur que le rayon de la planète.
Cela était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.

On isole h dans la formule du champ de pesanteur :

g = G \times \dfrac{ m}{\left(R + h\right)^{2}}

\Leftrightarrow g \times \left(R + h\right)^{2} = G \times m

\Leftrightarrow R + h = \sqrt{\dfrac{G \times m}{g}}

\Leftrightarrow h = \sqrt{\dfrac{G \times m}{g}} - R

On réalise alors l'application numérique en tenant compte du fait qu'ici :

g = \dfrac{g_{M_{surface}}}{4}

g = 0{,}933 N/kg

On en déduit la valeur de l'altitude à laquelle cette condition sera vérifiée :

h = \sqrt{\dfrac{6{,}674 \times 10^{-11} \times 6{,}4114 \times 10^{23}}{0{,}933}} - 3{,}386 \times 10^{6}

h =3{,}39 \times 10^{6} m

L'altitude recherchée est h =3{,}39 \times 10^{6} m et est donc égale au rayon de Mars, ce qui était prévisible car l'intensité du champ varie de manière inversement proportionnelle à d^2.