Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Les lois de probabilités discrètes

I

Les probabilités conditionnelles

Dans toute cette partie, on considère un univers probabilisé Ω.

A

Conditionnement

Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle. On définit la probabilité conditionnelle de B sachant que l'événement A est réalisé par :

pA(B)=p(AB)p(A)

Si p(AB)=0,25 et p(A)=0,75 alors :

pA(B)=0,250,75=13

B

Indépendance

Evénements indépendants

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

p(AB)=p(A)×p(B)

Considérons deux événements A et B tels que p(A)=0,7 et p(B)=0,6. On sait de plus que p(AB)=0,42. On a :

p(A)×p(B)=0,7×0,6=0,42=p(AB)

Les événements A et B sont donc indépendants.

Conditions d'indépendance de deux événements

Soient A et B deux événements indépendants de probabilités non nulles. On a :

  • p(AB)=p(A)×p(B)
  • pA(B)=p(B)
  • pB(A)=p(A)
C

La formule des probabilités totales

Partition

Soit un ensemble Ω. Les événements de probabilités non nulles {E1,E2,E3,...,Ek} forment un système complet ou une partition de Ω si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

  • EiΩ pour tout entier i compris entre 1 et k
  • Les événements E1,E2,E3,...,Ek sont deux à deux incompatibles
  • Leur réunion est égale à l'ensemble Ω
-

Formule des probabilités totales

Soit {E1,E2,E3,...,Ek} un système complet d'événements de l'univers Ω. Pour tout événement A :

p(A)=p(AE1)+p(AE2)+p(AE3)+...+p(AEk)

En appliquant ensuite la formule des probabilités conditionnelles, on obtient l'expression suivante :

p(A)=pE1(A)p(E1)+pE2(A)p(E2)+...+pEk(A)p(Ek)

La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré.

-

Dans cet exemple, les événements B et B forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet de calculer p(A) :

p(A)=p(AB)+p(AB)

Soit :

p(A)=p(B)×pB(A)+p(B)×pB(A)

La formule des probabilités totales revient ainsi à additionner les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A :

p(A)=0,8×0,05+0,2×0,5

p(A)=0,14

II

Les lois de probabilité discrètes

A

Les variables aléatoires

Variable aléatoire

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.

Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω)={x1,x2,...,xn}. La loi de probabilité de X associe à chaque réel xi la probabilité p({X=xi}), que l'on peut noter en abrégé p(X=xi).

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

xix1x2...xn
p(X=xi)p(X=x1)p(X=x2)...p(X=xn)

Le tableau suivant présente la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :

xi−2135
p(X=xi)0,250,100,500,15

Si X est une variable aléatoire telle que X(Ω)={x1,x2,...,xn}, alors :

p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xn)=1

En reprenant la loi de probabilité suivante :

xi−2135
p(X=xi)0,250,100,500,15

On vérifie que l'on a bien :

0,25+0,10+0,50+,015=1

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire X prenant pour valeurs x0, x1,..., xn est le réel :

E(X)=i=0nxip(X=xi)

Soit :

E(X)=x0p(X=x0)+x1p(X=x1)+...+xnp(X=xn)

En reprenant la loi de probabilité suivante :

xi−2135
p(X=xi)0,250,100,500,15

On peut calculer l'espérance :

E(X)=2×0,25+1×0,10+3×0,50+5×0,15=1,85

B

La loi de Bernoulli

Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • Succès, obtenu avec une probabilité p (p étant un réel compris entre 0 et 1)
  • Echec, obtenu avec la probabilité 1p

On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès est : "la paire de lunettes choisie est défectueuse", de probabilité p=0,05.

Loi de Bernoulli

Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si :

  • X(Ω)={0;1}
  • p(X=1)=p et p(X=0)=1p

On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses. X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la paire de lunettes choisie est défectueuse, et qui prend la valeur 0 sinon.

On a bien :

  • X(Ω)={0;1}
  • p(X=1)=0,05 et p(X=0)=0,95

Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05.

Espérance d'une loi de Bernoulli

Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :

E(X)=p

Soir une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,05. On a :

E(X)=0,05

C

La loi binomiale

Loi binomiale

On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. Notons n le nombre de répétitions et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque réalisation du schéma de Bernoulli associe le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée B(n;p).

On choisit successivement, de manière aléatoire et indépendante, 10 paires de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.

Cela constitue la répétition de n=10 épreuves de Bernoulli dont le succès est : "les lunettes choisies sont défectueuses", de probabilité p=0,05.

La variable aléatoire X qui compte le nombre de lunettes défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,05.

Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

  • X(Ω)={0;1;2;...;n}
  • Pour tout entier k appartenant à X(Ω), p(X=k)=(nk)pk(1p)nk

Le coefficient (nk), égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions, est appelé coefficient binomial.

En reprenant l'exemple précédent, on peut calculer :

P(X=2)=(102)×0,052×0,9580,0746

Espérance d'une loi binomiale

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

E(X)=np

Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,05, alors :

E(X)=10×0,05=0,5

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.