Les lois de probabilités discrètes
Les probabilités conditionnelles
Conditionnement
Probabilité conditionnelle
Indépendance
Evénements indépendants
Considérons deux événements A et B tels que \(\displaystyle{p\left(A\right)=0,7}\) et \(\displaystyle{p\left(B\right)=0,6}\). On sait de plus que \(\displaystyle{p\left(A\cap B\right)=0,42}\). On a :
\(\displaystyle{p\left(A\right)\times p\left(B\right)=0,7\times 0,6=0,42=p\left(A\cap B\right)}\)
Les événements A et B sont donc indépendants.
Conditions d'indépendance de deux événements
La formule des probabilités totales
Partition
Soit un ensemble \(\displaystyle{\Omega}\). Les événements de probabilités non nulles \(\displaystyle{\{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\}}\) forment un système complet ou une partition de \(\displaystyle{\Omega}\) si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
- \(\displaystyle{E_{i} \subset \Omega}\) pour tout entier i compris entre 1 et k
- Les événements \(\displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}\) sont deux à deux incompatibles
- Leur réunion est égale à l'ensemble \(\displaystyle{\Omega}\)
Formule des probabilités totales
Soit \(\displaystyle{\{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\}}\) un système complet d'événements de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\). Pour tout événement A :
\(\displaystyle{p\left(A\right) = p\left(A \cap E_{1}\right) + p\left(A \cap E_{2}\right) + p\left(A \cap E_{3}\right) +... + p\left(A \cap E_{k}\right)}\)
En appliquant ensuite la formule des probabilités conditionnelles, on obtient l'expression suivante :
\(\displaystyle{p\left(A\right) = p_{E_1}\left(A \right)p\left(E_1 \right) + p_{E_2}\left(A \right)p\left(E_2 \right)+...+p_{E_k}\left(A \right)p\left(E_k \right)}\)
Dans cet exemple, les événements B et \(\displaystyle{\overline{B}}\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet de calculer \(\displaystyle{p\left(A\right)}\) :
\(\displaystyle{p\left(A\right) = p\left(A \cap B\right) + p\left(A \cap \overline{B}\right)}\)
Soit :
\(\displaystyle{p\left(A\right) = p\left(B\right) \times p_{B}\left(A\right) + p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}\left(A\right)}\)
La formule des probabilités totales revient ainsi à additionner les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A :
\(\displaystyle{p\left(A\right) = 0,8 \times 0,05 + 0,2 \times 0,5}\)
\(\displaystyle{p\left(A\right) = 0,14}\)
Les lois de probabilité discrètes
Les variables aléatoires
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire telle que \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}}\). La loi de probabilité de X associe à chaque réel \(\displaystyle{x_{i}}\) la probabilité \(\displaystyle{p\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right)}\), que l'on peut noter en abrégé \(\displaystyle{p\left(X = x_{i}\right)}\).
On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.
| \(\displaystyle{x_{i}}\) | \(\displaystyle{x_{1}}\) | \(\displaystyle{x_{2}}\) | ... | \(\displaystyle{x_{n}}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{p\left(X = x_{i}\right)}\) | \(\displaystyle{p\left(X = x_{1}\right)}\) | \(\displaystyle{p\left(X = x_{2}\right)}\) | ... | \(\displaystyle{p\left(X = x_{n}\right)}\) |
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) prenant pour valeurs \(\displaystyle{x_0}\), \(\displaystyle{x_1}\),..., \(\displaystyle{x_n}\) est le réel :
\(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} p\left(X = x_{i}\right)}\)
Soit :
\(\displaystyle{E\left(X\right) = x_{0} p\left(X = x_{0}\right) + x_{1} p\left(X = x_{1}\right) +... + x_{n} p\left(X = x_{n}\right)}\)
La loi de Bernoulli
Epreuve de Bernoulli
Loi de Bernoulli
On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses. X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la paire de lunettes choisie est défectueuse, et qui prend la valeur 0 sinon.
On a bien :
- \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}}\)
- \(\displaystyle{p\left(X = 1\right) = 0,05}\) et \(\displaystyle{p\left(X = 0\right) = 0,95}\)
Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05.
La loi binomiale
Loi binomiale
On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. Notons n le nombre de répétitions et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque réalisation du schéma de Bernoulli associe le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée \(\displaystyle{B\left(n;p\right)}\).
On choisit successivement, de manière aléatoire et indépendante, 10 paires de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue la répétition de \(\displaystyle{n=10}\) épreuves de Bernoulli dont le succès est : "les lunettes choisies sont défectueuses", de probabilité \(\displaystyle{p=0,05}\).
La variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) qui compte le nombre de lunettes défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=10}\) et \(\displaystyle{p=0,05}\).
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
- \(\displaystyle{X\left(\Omega\right)=\left\{ 0;1;2;...;n \right\}}\)
- Pour tout entier k appartenant à \(\displaystyle{X\left(\Omega\right)}\), \(\displaystyle{p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}}\)
Le coefficient \(\displaystyle{\dbinom{n}{k}}\), égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions, est appelé coefficient binomial.
Espérance d'une loi binomiale
Sommaire du chapitre
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