Terminale ES 2015-2016

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La convexité

I

Comportement

A

Les fonctions convexes

Fonction convexe

Une fonction est convexe sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(\displaystyle{I}\).

-
B

Les fonctions concaves

Fonction concave

Une fonction est concave sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) si sa courbe représentative est intégralement située en dessous de chacune de ses tangentes sur \(\displaystyle{I}\).

-
C

Le point d'inflexion

Point d'inflexion

La courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion si la fonction change de convexité en ce point. Graphiquement, un point d'inflexion est un point où la courbe représentative traverse sa tangente.

-
II

Convexité et dérivée

A

Convexité et variations de la dérivée

Convexité et variations de la dérivée

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

  • f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I.
  • f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I.

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). La courbe représentative de f admet un point d'inflexion en \(\displaystyle{A\left(a;f\left(a\right)\right)}\) si et seulement si f' change de variations en a.

B

Convexité et dérivée seconde

Convexité et signe de la dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable deux fois sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

  • f est convexe sur I si et seulement si f'' est positive sur I.
  • f est concave sur I si et seulement si f'' est négative sur I.

Point d'inflexion

Soit f une fonction dérivable deux fois sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
La courbe représentative de f admet un point d'inflexion en \(\displaystyle{A}\) (\(\displaystyle{a ; f\left(a\right)}\)) si et seulement si f'' s'annule en a en changeant de signe.