Les probabilités conditionnelles
Dans toute cette partie, on considère un univers probabilisé \Omega.
Conditionnement
Probabilité conditionnelle
Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle. On définit la probabilité conditionnelle de B sachant que l'événement A est réalisé par :
p_{A}\left(B\right) =\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}
Si p\left(A\cap B\right)=0{,}25 et p\left(A\right)=0{,}75 alors :
p_A\left(B\right)=\dfrac{0{,}25}{0{,}75}=\dfrac13
Indépendance
Evénements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)
Considérons deux événements A et B tels que p\left(A\right)=0{,}7 et p\left(B\right)=0{,}6. On sait de plus que p\left(A\cap B\right)=0{,}42. On a :
p\left(A\right)\times p\left(B\right)=0{,}7\times 0{,}6=0{,}42=p\left(A\cap B\right)
Les événements A et B sont donc indépendants.
Conditions d'indépendance de deux événements
Soient A et B deux événements indépendants de probabilités non nulles. On a :
- p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)
- p_{A}\left(B\right) = p\left(B\right)
- p_{B}\left(A\right) = p\left(A\right)
La formule des probabilités totales
Partition
Soit un ensemble \Omega. Les événements de probabilités non nulles \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} forment un système complet ou une partition de \Omega si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
- E_{i} \subset \Omega pour tout entier i compris entre 1 et k
- Les événements E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k} sont deux à deux incompatibles
- Leur réunion est égale à l'ensemble \Omega
Formule des probabilités totales
Soit \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} un système complet d'événements de l'univers \Omega. Pour tout événement A :
p\left(A\right) = p\left(A \cap E_{1}\right) + p\left(A \cap E_{2}\right) + p\left(A \cap E_{3}\right) +... + p\left(A \cap E_{k}\right)
En appliquant ensuite la formule des probabilités conditionnelles, on obtient l'expression suivante :
p\left(A\right) = p_{E_1}\left(A \right)p\left(E_1 \right) + p_{E_2}\left(A \right)p\left(E_2 \right)+...+p_{E_k}\left(A \right)p\left(E_k \right)
La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré.
Dans cet exemple, les événements B et \overline{B} forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet de calculer p\left(A\right) :
p\left(A\right) = p\left(A \cap B\right) + p\left(A \cap \overline{B}\right)
Soit :
p\left(A\right) = p\left(B\right) \times p_{B}\left(A\right) + p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}\left(A\right)
La formule des probabilités totales revient ainsi à additionner les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A :
p\left(A\right) = 0{,}8 \times 0{,}05 + 0{,}2 \times 0{,}5
p\left(A\right) = 0{,}14
Les lois de probabilité discrètes
Les variables aléatoires
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}. La loi de probabilité de X associe à chaque réel x_{i} la probabilité p\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right), que l'on peut noter en abrégé p\left(X = x_{i}\right).
On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.
| x_{i} | x_{1} | x_{2} | ... | x_{n} |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X = x_{i}\right) | p\left(X = x_{1}\right) | p\left(X = x_{2}\right) | ... | p\left(X = x_{n}\right) |
Le tableau suivant présente la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :
| x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
Si X est une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}, alors :
p\left(X = x_{1}\right) + p\left(X = x_{2}\right) +... + p\left(X = x_{n}\right) = 1
En reprenant la loi de probabilité suivante :
| x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
On vérifie que l'on a bien :
0{,}25+0{,}10+0{,}50+0{,}15=1
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X prenant pour valeurs x_0, x_1,..., x_n est le réel :
E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} p\left(X = x_{i}\right)
Soit :
E\left(X\right) = x_{0} p\left(X = x_{0}\right) + x_{1} p\left(X = x_{1}\right) +... + x_{n} p\left(X = x_{n}\right)
En reprenant la loi de probabilité suivante :
| x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
On peut calculer l'espérance :
E\left(X\right)=-2\times0{,}25+1\times0{,}10+3\times0{,}50+5\times0{,}15=1{,}85
La loi de Bernoulli
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :
- Succès, obtenu avec une probabilité p (p étant un réel compris entre 0 et 1)
- Echec, obtenu avec la probabilité 1 - p
On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès est : "la paire de lunettes choisie est défectueuse", de probabilité p=0{,}05.
Loi de Bernoulli
Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si :
- X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
- p\left(X = 1\right) = p et p\left(X = 0\right) = 1 - p
On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses. X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la paire de lunettes choisie est défectueuse, et qui prend la valeur 0 sinon.
On a bien :
- X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
- p\left(X = 1\right) = 0{,}05 et p\left(X = 0\right) = 0{,}95
Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05.
Espérance d'une loi de Bernoulli
Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :
E\left(X\right) = p
Soit une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,05. On a :
E\left(X\right)=0{,}05
La loi binomiale
Loi binomiale
On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. Notons n le nombre de répétitions et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque réalisation du schéma de Bernoulli associe le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée B\left(n;p\right).
On choisit successivement, de manière aléatoire et indépendante, 10 paires de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue la répétition de n=10 épreuves de Bernoulli dont le succès est : "les lunettes choisies sont défectueuses", de probabilité p=0{,}05.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de lunettes défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}05.
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
- X\left(\Omega\right)=\left\{ 0;1;2;...;n \right\}
- Pour tout entier k appartenant à X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}
Le coefficient \dbinom{n}{k}, égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions, est appelé coefficient binomial.
En reprenant l'exemple précédent, on peut calculer :
P\left(X=2\right)=\binom{10}{2}\times 0{,}05^2\times0{,}95^8\approx0{,}0746
Espérance d'une loi binomiale
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
E\left(X\right) = np
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}05, alors :
E\left(X\right)=10\times0{,}05=0{,}5