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Calculer la dérivée seconde d'une fonction

Afin de calculer la dérivée seconde d'une fonction f, on dérive deux fois f.

On considère la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = -3x^3 +4x^2-12x+9}\)

Déterminer f'', la dérivée seconde de f.

Etape 1

Justifier la dérivabilité de f et calculer f'

On justifie que f est dérivable sur son ensemble de définition et on calcule f', la dérivée de f.

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme. De plus, on a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = -9x^2 +8x-12}\)

Etape 2

Simplifier f'

On simplifie f' afin d'obtenir une forme facilement dérivable.

Ici, l'expression de f' est déjà simplifiée.

Etape 3

Justifier la dérivabilité de f' et calculer f''

On justifie que f' est dérivable sur son ensemble de définition et on calcule f'', la dérivée de f'.

f' est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme et on a :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f''\left(x\right) = -18x +8}\)

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