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Les lois de probabilités discrètes

Probabilité conditionnelle

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements, avec \(\displaystyle{A}\) de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de \(\displaystyle{B}\) sachant \(\displaystyle{A}\) par :

\(\displaystyle{P_{A}\left(B\right) =\dfrac{P\left(A \cap B\right)}{P\left(A\right)}}\)

Evénements indépendants

Deux événements \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) sont indépendants si et seulement si :

\(\displaystyle{P\left(A \cap B\right) = P\left(A\right) \times P\left(B\right)}\)

Formule des probabilités totales

Soit \(\displaystyle{{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}}\) un système complet d'événements de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\).
D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement \(\displaystyle{A}\) de E :

\(\displaystyle{P\left(A\right) = P\left(A \cap E_{1}\right) + P\left(A \cap E_{2}\right) + P\left(A \cap E_{3}\right) +... + P\left(A \cap E_{k}\right)}\)

Loi binomiale

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre 0 et 1 et \(\displaystyle{n}\) un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de \(\displaystyle{n}\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\).

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), notée \(\displaystyle{B\left(n ; p\right)}\), si :

  • \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = [\![0 ; n]\!]}\)
  • \(\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}}\)

Le coefficient \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\) est égal au nombre de possibilités de placer les \(\displaystyle{k}\) succès parmi les \(\displaystyle{n}\) répétitions.

Espérance et variance d'une loi binomiale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), on a :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\)

\(\displaystyle{V\left(X\right) = np\left(1 - p\right)}\)

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