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Les nombres rationnels

I

Définition

Nombre rationnel

On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\), où a et b sont des entiers relatifs avec \(\displaystyle{b\neq0}\).

\(\displaystyle{2=\dfrac{2}{1}}\) est un nombre rationnel.

\(\displaystyle{-5=\dfrac{-5}{1}}\) est un nombre rationnel.

\(\displaystyle{-52,67=\dfrac{-5\ 267}{100}}\) est un nombre rationnel.

\(\displaystyle{0,001=\dfrac{1}{1\ 000}}\) est un nombre rationnel.

\(\displaystyle{\pi}\) ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction, ce n'est donc pas un nombre rationnel.

II

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur :

  • On additionne (ou on soustrait) les numérateurs.
  • On conserve le dénominateur commun

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{5}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{5+8}{3}=\dfrac{13}{3}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{11}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{11-2}{5}=\dfrac{9}{5}}\)

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, on doit d'abord les remplacer par des fractions égales ayant le même dénominateur.

On souhaite additionner \(\displaystyle{\dfrac23}\) et \(\displaystyle{\dfrac59}\) :

\(\displaystyle{\dfrac23 + \dfrac59 = \dfrac69 + \dfrac59 = \dfrac{6+5}{9} = \dfrac{11}{9}}\)

Attention à ne pas additionner ou soustraire les dénominateurs.

Il ne faut pas oublier qu'un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1.

\(\displaystyle{5=\dfrac{5}{1}}\)

Soient a et b deux nombres avec \(\displaystyle{b\neq0}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{3+\dfrac{2}{-3}=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}}\)

III

Multiplication de fractions

Lorsqu'on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) par un même nombre relatif k non nul, on obtient une écriture fractionnaire égale à \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}}\)

\(\displaystyle{\dfrac35 = \dfrac{3 \times 4,2}{5 \times 4,2} = \dfrac{12,6}{21}}\)

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux. Soient a, b, c et d quatre nombres, avec \(\displaystyle{b\neq0}\) et \(\displaystyle{d\neq0}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}}\)

\(\displaystyle{\dfrac37 \times \dfrac52 = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{15}{14}}\)
Il est souvent préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier.

\(\displaystyle{\dfrac{25}{15}\times \dfrac{16}{36}=\dfrac{\color{Blue}{5}\times5}{\color{Blue}{5}\times3}\times\dfrac{\color{Blue}{4}\times4}{\color{Blue}{4}\times9}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{27}}\)

Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier cette fraction par ce nombre.

Prendre le tiers de 24€, c'est calculer :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{3}\times24=8}\)

Le tiers de 24€ est donc 8€.

IV

Division de fractions

Inverse d'un nombre relatif

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est le nombre qui multiplié par a donne 1.

\(\displaystyle{5\times0,2=1}\), donc l'inverse de 5 est 0,2.

\(\displaystyle{\left(-100\right)\times\left(-0,01\right)=1}\), donc l'inverse de −100 est −0,01.

On note également \(\displaystyle{a^{-1}}\) l'inverse d'un nombre a non nul.

L'inverse du nombre 9 se note 9−1.

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\) car \(\displaystyle{a\times\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{a}=1}\).

L'inverse de −5 est \(\displaystyle{\dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}}\).

L'inverse de 9 est \(\displaystyle{\dfrac{1}{9}}\).

Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{13}{24} = 13 \times \dfrac{1}{24}}\)

Division de fractions

Sachant que a et b sont deux nombres non nuls, l'inverse de la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est la fraction \(\displaystyle{\dfrac{b}{a}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{\dfrac37}\) est \(\displaystyle{\dfrac73}\).

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{9}{23}} = \dfrac{11}{5} \times \dfrac{23}{9}}\)

Attention à la position du trait de fraction dans un calcul.

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}\neq\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}}\)

En effet :

\(\displaystyle{\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6}}\)

Alors que :

\(\displaystyle{\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}}\)

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