Les nombres rationnelsCours

I

Définition

Nombre rationnel

On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme \dfrac{a}{b}, où a et b sont des entiers relatifs avec b\neq0.

2=\dfrac{2}{1} est un nombre rationnel.

-5=\dfrac{-5}{1} est un nombre rationnel.

-52{,}67=\dfrac{-5\ 267}{100} est un nombre rationnel.

0{,}001=\dfrac{1}{1\ 000} est un nombre rationnel.

\pi ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction, ce n'est donc pas un nombre rationnel.

II

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur :

  • On additionne (ou on soustrait) les numérateurs.
  • On conserve le dénominateur commun.

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}

\dfrac{5}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{5+8}{3}=\dfrac{13}{3}

\dfrac{11}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{11-2}{5}=\dfrac{9}{5}

Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, on doit d'abord les remplacer par des fractions égales ayant le même dénominateur.

On souhaite additionner \dfrac23 et \dfrac59 :

\dfrac23 + \dfrac59 =\dfrac{2\times 3}{3\times 3}+\dfrac{5}{9}= \dfrac69 + \dfrac59 = \dfrac{6+5}{9} = \dfrac{11}{9}

Attention à ne pas additionner ou soustraire les dénominateurs.

Il ne faut pas oublier qu'un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1.

5=\dfrac{5}{1}

Soient a et b deux nombres avec b\neq0 :

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}

3+\dfrac{2}{-3}=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}

III

Multiplication de fractions

Lorsqu'on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur de \dfrac{a}{b} par un même nombre relatif k non nul, on obtient une écriture fractionnaire égale à \dfrac{a}{b}  :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

\dfrac35 = \dfrac{3 \times 4{,}2}{5 \times 4{,}2} = \dfrac{12{,}6}{21}

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux. Soient a, b, c et d quatre nombres, avec b\neq0 et d\neq0  :

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

\dfrac37 \times \dfrac52 = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{15}{14}
Il est souvent préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier.

\dfrac{25}{15}\times \dfrac{16}{36}=\dfrac{\textcolor{Blue}{5}\times5}{\textcolor{Blue}{5}\times3}\times\dfrac{\textcolor{Blue}{4}\times4}{\textcolor{Blue}{4}\times9}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{27}

Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier cette fraction par ce nombre.

Prendre le tiers de 24 €, c'est calculer :

\dfrac{1}{3}\times24=8

Le tiers de 24 € est donc 8 €.

IV

Division de fractions

Inverse d'un nombre relatif

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est le nombre qui multiplié par a donne 1.

5\times0{,}2=1, donc l'inverse de 5 est 0,2.

\left(-100\right)\times\left(-0{,}01\right)=1, donc l'inverse de −100 est −0,01.

On note également a^{-1} l'inverse d'un nombre a non nul.

L'inverse du nombre 9 se note 9−1.

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est \dfrac{1}{a} car a\times\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{a}=1.

L'inverse de −5 est \dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}.

L'inverse de 9 est \dfrac{1}{9}.

Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}

\dfrac{13}{24} = 13 \times \dfrac{1}{24}

Division de fractions

Sachant que a et b sont deux nombres non nuls, l'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est la fraction \dfrac{b}{a}.

L'inverse de \dfrac37 est \dfrac73.

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.

\dfrac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{9}{23}} = \dfrac{11}{5} \times \dfrac{23}{9}

Attention à la position du trait de fraction dans un calcul.

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}\neq\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}

En effet :

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6}

Alors que :

\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule