Quatrième 2016-2017
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Quatrième 2016-2017

Puissance d'un nombre

I

Les puissances d'un nombre

Puissance d'un nombre

Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 1.
On désigne par an la puissance n du nombre a, tel que :

an=a×a×...×an facteurs

  • L'entier n est appelé l'exposant.
  • an se lit "a exposant n" ou "a puissance n".
  • an est appelé puissance n-ième de a.

25=2×2×2×2×2=32

Soit a un nombre non nul :

  • a0=1
  • a1=a

50=1

61=6

Soient n un entier positif et a un nombre non nul :

an=1an

52=152

127=27

  • Pour tout entier n, 1n=1
  • Pour tout entier non nul n, 0n=0

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, n et p deux entiers relatifs :

an×ap=an+p

38×32=382=36

(an)p=anp

(52)4=52×4=58

anap=anp

4543=453=42

(ab)n=an×bn

(2×6)3=23×63

(ab)n=anbn

(23)9=2939

Soit a un nombre non nul. L'inverse de a est a1.

L'inverse de 4 est 41=14.

Dans une suite de calculs, on effectue dans l'ordre :

  • Les calculs entre parenthèses
  • Les puissances
  • Les multiplications et les divisions
  • Les additions et les soustractions

1(42)3=123=18=7

II

Les puissances de 10

Soit n un entier strictement positif :

10n=10×10...×10n facteurs

106=1 000 000

10n=0,0...0n zéros1

103=0,001

Soient n et p deux entiers relatifs :

10n×10p=10n+p

108×102=1082=106

(10n)p=10np

(102)4=102×4=108

10n10p=10np

105103=1053=102

Préfixes

On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l'écriture de nombres donnés avec des puissances de 10 dans certaines unités.

PréfixeGigaMégaKiloUnitéMilliMicroNano
SymboleGMkmμn
10n109106103100=1103106109

Un disque dur de 500 Go compte 500×109 octets, soit 500 000 000 000 octets.

III

L'écriture scientifique

Écriture scientifique

Tout nombre décimal b non nul s'écrit, de façon unique, sous la forme a×10n où :

  • 1a<10 si le nombre est positif.
  • 10<a1 si le nombre est négatif.
  • n est un entier relatif.

Le nombre a est appelé mantisse du nombre b. La forme a×10n est appelée notation scientifique du nombre b.

La notation scientifique de 12,15 est 1,215×101.

Ordre de grandeur

Un ordre grandeur d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre.

Pour un nombre donné par sa notation scientifique, sous la forme a×10n, on prend souvent comme ordre de grandeur b×10nb est la valeur approchée de a arrondie à l'unité (autrement dit l'entier relatif le plus proche de a).

Un ordre de grandeur de 1,7×105 est 2×105, soit 20 000.

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