Les puissances d'un nombre
Puissance d'un nombre
Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
On désigne par a^{n} la puissance n du nombre a, tel que :
a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}
- L'entier n est appelé l'exposant.
- a^n se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
- a^n est appelé puissance n -ième de a.
2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
Soit a un nombre non nul :
- a^{0} = 1
- a^{1} = a
5^0=1
6^1=6
Soient n un entier positif et a un nombre non nul :
a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}
5^{-2} = \dfrac{1}{5^2}
\dfrac{1}{2^7} = 2^{-7}
- Pour tout entier n, 1^n=1
- Pour tout entier non nul n, 0^n=0
Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, n et p deux entiers relatifs :
a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}
3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6
\left(a^{n}\right)^{p} = a^{n\times p}
\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8
\dfrac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}
\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2
\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}
\left(2\times6\right)^{3} = 2^{3} \times 6^{3}
\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}
Soit a un nombre non nul. L'inverse de a est a^{-1}.
L'inverse de 4 est 4^{-1}=\dfrac14.
Dans une suite de calculs, on effectue dans l'ordre :
- les calculs entre parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et les divisions ;
- les additions et les soustractions.
1-\left(4-2\right)^3=1-2^3=1-8=-7
Les puissances de 10
Soit n un entier strictement positif :
10^n = \underbrace{10\times10...\times10}_{n \text{ facteurs}}
10^6 = 1\ 000\ 000
10^{-n} = \underbrace{0{,}0...0}_{n \text{ zéros}} 1
10^{-3} = 0{,}001
Soient n et p deux entiers relatifs :
10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}
10^{8} \times 10^{-2} = 10^{8-2} = 10^6
\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{np}
\left(10^{2}\right)^{4} = 10^{2 \times 4} = 10^8
\dfrac{10^{n}}{10^{p}} = 10^{n-p}
\dfrac{10^{5}}{10^{3}} = 10^{5-3} = 10^2
Préfixes
On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l'écriture de nombres donnés avec des puissances de 10 dans certaines unités.
| Préfixe | Giga | Méga | Kilo | Unité | Milli | Micro | Nano |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symbole | G | M | k | m | \mu | n | |
| 10^n | 10^9 | 10^6 | 10^3 | 10^0=1 | 10^{-3} | 10^{-6} | 10^{-9} |
- Un cheveu ayant pour diamètre \text{60 } \mu\text{m} a donc un diamètre de 60\times 10^{-6}\text{ m} , soit 6\times 10^{-5}\text{ m}.
- La distance Terre-Lune moyenne est d'environ 0,38 Gm, soit 0{,}38\times 10^9\text{ m}, c'est-à-dire 380 000 000 m.
L'écriture scientifique
Écriture scientifique
Tout nombre décimal b non nul s'écrit, de façon unique, sous la forme a\times10^n où :
- 1\leqslant a\lt 10 si le nombre est positif.
- -10\lt a\leqslant -1 si le nombre est négatif.
- n est un entier relatif.
Le nombre a est appelé mantisse du nombre b. La forme a\times10^n est appelée notation scientifique du nombre b.
La notation scientifique de 12,15 est 1{,}215\times10^{1}.
Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre.
Pour un nombre donné par sa notation scientifique, sous la forme a\times10^n, on prend souvent comme ordre de grandeur b\times10^n où b est la valeur approchée de a arrondie à l'unité (autrement dit l'entier relatif le plus proche de a ).
Un ordre de grandeur de 1{,}7\times10^5 est 2\times10^5, soit 200 000.