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Puissance d'un entier

I

Les puissances d'un nombre

Puissance d'un nombre

Soit \(\displaystyle{n}\) un entier positif non nul supérieur ou égal à 2.
On désigne par \(\displaystyle{a^{n}}\) la puissance \(\displaystyle{n}\) du nombre \(\displaystyle{a}\), tel que :

\(\displaystyle{a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}}\)

L'entier \(\displaystyle{n}\) est appelé l'exposant.

\(\displaystyle{2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32}\)

  • \(\displaystyle{a^{0} = 1}\)
  • \(\displaystyle{a^{1} = a}\)

\(\displaystyle{5^0=1}\)

\(\displaystyle{6^1=6}\)

Soient \(\displaystyle{n}\) un entier positif et \(\displaystyle{a}\) un nombre non nul :

\(\displaystyle{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}\)

\(\displaystyle{5^{-2} = \dfrac{1}{5^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{2^7} = 2^{-7}}\)

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres relatifs non nuls, \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\) deux entiers relatifs :

\(\displaystyle{a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}}\)

\(\displaystyle{3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6}\)

\(\displaystyle{\left(a^{n}\right)^{p} = a^{np}}\)

\(\displaystyle{\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2}\)

\(\displaystyle{\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\)

\(\displaystyle{\left(2\times6\right)^{3} = 2^{3} \times 6^{3}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}}\)

L'inverse de \(\displaystyle{a}\) est \(\displaystyle{a^{-1}}\).

L'inverse de 4 est \(\displaystyle{4^{-1}=\dfrac14}\).

II

Les puissances de 10 et l'écriture scientifique

Soit \(\displaystyle{n}\) un entier positif non nul :

\(\displaystyle{10^n = 1 \underbrace{00...0}_{n \text{ zéros}}}\)

\(\displaystyle{10^6 = 1\ 000\ 000}\)

\(\displaystyle{10^{-n} = \underbrace{0,0...0}_{n \text{ zéros}} 1}\)

\(\displaystyle{10^{-3} = 0,001}\)

Ecriture scientifique

Tout nombre décimal non nul admet une écriture scientifique de la forme :

\(\displaystyle{a \times 10^{p}}\)

avec \(\displaystyle{p}\) entier relatif, et :

  • \(\displaystyle{1 \leq a \lt 10}\) si le nombre est positif.
  • \(\displaystyle{- 10 \lt a \leq -1}\) si le nombre est négatif.

\(\displaystyle{287,13 = 2,8\ 713 \times 10^2}\)

\(\displaystyle{0,592 = 5,92 \times 10^{-1}}\)

\(\displaystyle{-43,7 = -4,37 \times 10}\)

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