L'addition
Somme et termes
- Le résultat d'une addition est appelé « somme ».
- Les nombres que l'on ajoute sont appelés les « termes ».
Dans l'addition 2{,}5+3{,}7=6{,}2, les nombres 2,5 et 3,7 sont les termes. Le résultat, 6,2, est appelé « somme ».
Dans une addition, on peut inverser l'ordre des termes et les regrouper.
5{,}5+2{,}1+8{,}9+4{,}5=\left(5{,}5+4{,}5\right)+\left(2{,}1+8{,}9\right)
Cette propriété est très utile en calcul mental, notamment pour regrouper les termes dont la somme des parties décimales est égale à 1.
\textcolor{Blue}{5{,}4} + \textcolor{Red}{6{,}1} + \textcolor{Blue}{3{,}6} + \textcolor{Red}{7{,}9}= \left(5{,}4+3{,}6\right) + \left(6{,}1+7{,}9\right) = 9 + 14 = 23
Lorsqu'on ajoute deux nombres décimaux dont les parties décimales ne sont pas de même taille, il faut veiller à bien additionner les dixièmes ensemble, les centièmes ensemble, les millièmes ensemble, etc. On rajoute autant de 0 que nécessaire pour que les deux parties décimales soient de même taille.
Calculer 23{,}43 + 3{,}217 revient à calculer 23{,}43\textcolor{Red}{0} + 3{,}217.
Donc :
23{,}43 + 3{,}217 = 23{,}430 + 3{,}217 = 26{,}647
Ordre de grandeur d'une somme
Un ordre de grandeur d'une somme est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque terme par un nombre proche, ce qui facilite le calcul mental de la somme. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
18 + 81 + 24
Une valeur approchée de cette somme est :
20 + 80 +25 = 125
La soustraction
Différence et termes
- Le résultat d'une soustraction est appelé « différence ».
- Les nombres que l'on soustrait sont appelés les « termes ».
Dans la soustraction 789{,}15-154{,}22=634{,}93, les nombres 789,15 et 154,22 sont les termes et le résultat, 634,93, est appelé « différence ».
Calculer une différence revient à chercher un nombre manquant dans une addition à trou.
On cherche à calculer la soustraction suivante :
13-8=\text{ ...}
Cela revient à déterminer le nombre tel que :
8+\text{ ...}=13
Lorsqu'on soustrait deux nombres décimaux dont les parties décimales ne sont pas de même taille, il faut veiller à bien soustraire les dixièmes ensemble, les centièmes ensemble, les millièmes ensemble, etc. On rajoute autant de 0 que nécessaire pour que les deux parties décimales soient de même taille.
Calculer 3{,}432 - 2{,}21 revient à calculer 3{,}432 - 2{,}21\textcolor{Red}{0}.
Donc :
3{,}432 - 2{,}21 = 3{,}432 - 2{,}210 = 1{,}222
Ordre de grandeur d'une différence
Un ordre de grandeur d'une différence est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque terme par un nombre proche, ce qui facilite le calcul mental de la différence. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
29 - 11
Une valeur approchée de cette différence est :
30 - 10 = 20
La multiplication
Produit et facteurs
- Le résultat d'une multiplication est appelé « produit ».
- Les nombres que l'on multiplie sont appelés les « facteurs ».
Dans la multiplication :
7{,}5\times1{,}1=8{,}25
- Les nombres 7,5 et 1,1 sont les facteurs.
- Le résultat 8,25 est le produit.
Dans une multiplication, on peut inverser l'ordre des facteurs. Si le calcul ne comporte que des multiplications, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper.
12{,}3\times44{,}1=44{,}1\times12{,}3
2{,}5\times18{,}1\times4\times2=\left(2{,}5\times4\right)\times\left(18{,}1\times2\right)
Cette propriété est très utile en calcul mental, pour regrouper les facteurs décimaux dont le produit est égal à un nombre entier notamment.
\textcolor{Blue}{1{,}25} \times 6 \times \textcolor{Blue}{4} = \underbrace{\textcolor{Blue}{1{,}25} \times \textcolor{Blue}{4}}_{5} \times 6 = 5 \times 6 = 30
Il est pratique d'identifier les multiplications suivantes dans un calcul :
- 2 \times 0{,}5 = 1
- 4 \times 0{,}25 = 1
- 8 \times 0{,}125 = 1
- 5 \times 0{,}2 = 1
0{,}25\times0{,}2\times4\times5=\left(0{,}25\times4\right)\times\left(0{,}2\times5\right)=1\times1=1
La multiplication d'un nombre par 0 est égale à 0.
84{,}56\times0=0
- Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la droite.
- Pour multiplier un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la droite.
- Pour multiplier un nombre décimal par 1 000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. Il n'y a alors plus de partie décimale et donc de virgule.
On veut calculer 129{,}56 \times 1\ 000.
On doit donc déplacer la virgule de trois rangs vers la droite, mais la partie décimale n'est formée que de deux chiffres. On ajoute donc un 0 à la fin et on retire la virgule :
129{,}56 \times 1\ 000 = 129\ 560
Ordre de grandeur d'un produit
Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du produit. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
\textcolor{Blue}{19} \times \textcolor{Red}{9}
Une valeur approchée de ce produit est :
\textcolor{Blue}{20} \times \textcolor{Red}{10} = 200
La division
La division euclidienne
Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier a appelé « dividende » par un nombre entier, différent de 0, b appelé « diviseur », c'est trouver deux nombres entiers q et r appelés respectivement « quotient » et « reste » vérifiant :
- a = b \times q + r
- r\lt b
Jean possède un paquet de 100 bonbons et a organisé une fête pour son anniversaire. Ils seront 9 au total pour la fête. Il se demande combien de bonbons ils auront chacun et combien il en restera en plus.
En effectuant la division euclidienne de 100 par 9, on obtient :
Jean pourra donc donner 11 bonbons à chacun, et il lui en restera 1 à l'issue du partage.
Avec la calculatrice, on peut demander le quotient et le reste d'une division euclidienne :
Les multiples et les diviseurs
Multiple d'un nombre entier
Un nombre entier a est dit « multiple d'un nombre entier » b si la division de a par b donne un reste nul.
6 est un multiple de 2 car 6=2\times3+0.
Si a est un multiple de b, alors il appartient à la table de multiplication de b.
Diviseur d'un nombre entier
Un nombre entier b est dit diviseur d'un nombre entier a si la division de a par b donne un reste nul.
3 est un diviseur de 9.
Si b est diviseur de a, alors a est un multiple de b.
Les critères de divisibilité
- Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et celui des unités est un multiple de 4.
- Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
14 et 28 sont divisibles par 2.
315 est divisible par 3.
En effet, on a 3+1+5=9, donc la somme des chiffres de 315 est un multiple de 3.
424 est un multiple de 4 car 24 est un multiple de 4.
40 et 45 sont des multiples de 5.
414 est un multiple de 9 car 4+1+4=9.
80 et 120 sont des multiples de 10.
La division à quotient décimal
Quotient d'un nombre décimal
On appelle « quotient d'un nombre décimal » a par un nombre entier b le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Le quotient de a par b se note a\div b.
Ainsi, on a :
\left(a\div b\right)\times b=a
Division décimale
Effectuer la division décimale d'un nombre décimal a par un nombre entier b différent de 0, c'est chercher le quotient a\div b de a par b.
Le père de Julien vient d'effectuer le plein d'essence de sa voiture et a payé 36,75 € pour 35 L de gazole. Julien cherche à retrouver le prix d'un litre de gazole. Il doit donc effectuer la division décimale de 36,75 par 35 :
Le quotient est 1,05 et le reste est 0. Le prix d'un litre de gazole était donc de 1,05 €.
On peut retrouver ce résultat à l'aide de la calculatrice.
En reprenant l'exemple précédent, on obtient :
Lorsque la division ne s'arrête pas, le quotient n'est pas un nombre décimal. Dans ce cas, on donne une valeur approchée du quotient.
On obtient par exemple, à la calculatrice, pour la division de 36,75 par 33 :
- Pour diviser un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 1 000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Si l'on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. On ajoute enfin un dernier 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.
On veut calculer 6{,}74 \div 100.
On doit donc déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche, mais la partie entière n'est formée que d'un seul chiffre. On ajoute donc un 0 avant le 6.
On ajoute enfin un dernier 0 au début et on place la virgule :
6{,}74 \div 100 = 0{,}0674
- Multiplier un nombre par 0,1 revient à le diviser par 10.
- Multiplier un nombre par 0,01 revient à le diviser par 100.
- Multiplier par 0,001 revient à diviser par 1 000.
7\ 658\times0{,}1=7\ 658 : 10=765{,}8
7\ 658\times0{,}01=7\ 658 : 100=76{,}58
7\ 658\times0{,}001=7\ 658\div1\ 000=7{,}658
- Pour multiplier un nombre décimal par 5, il suffit de le multiplier par 10, puis de diviser le résultat par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
- Pour multiplier un nombre décimal par 25, il suffit de le multiplier par 100, puis de diviser le résultat par 4 (c'est-à-dire de prendre la moitié de la moitié du résultat).
- Pour multiplier un nombre décimal par 50, il suffit de le multiplier par 100, puis de diviser le résultat par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
- Pour multiplier un nombre décimal par 0,5, il suffit de le diviser par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
- Pour multiplier un nombre décimal par 0,25, il suffit de le diviser par 4 (c'est-à-dire de prendre la moitié de la moitié du nombre).
Ordre de grandeur d'un quotient
Un ordre grandeur d'un quotient est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du quotient. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
Pour calculer 25{,}54 : 4{,}685 on peut écrire 25\div5=5. Le résultat 5 est un ordre de grandeur du quotient.
Ordre des opérations
Dans une suite d'opérations ne comportant pas de parenthèses, on commence par les multiplications et les divisions en les effectuant de gauche à droite si plusieurs d'entre elles se succèdent.
On passe ensuite aux additions et soustractions en les effectuant de gauche à droite si plusieurs d'entre elles se succèdent.
2\times3+4\times4-6\div2=6+16-3=19
Dans une suite d'opérations comportant des parenthèses, on commence par effectuer le calcul (ou les calculs) entre parenthèses en respectant les règles précédentes de priorité des opérations.
2\times\left(3+4\right)\times4-6\div2=2\times7\times4-6\div2=56-3=53
- Si une suite d'opérations ne comporte que des additions, on peut échanger l'ordre des termes.
- Si une suite d'opérations ne comporte que des multiplications, on peut échanger l'ordre des facteurs.
- Les deux cas précédents sont les seuls cas où l'on peut échanger des nombres dans une suite d'opérations.
12+5+2=2+5+12=12+2+5=19
2\times3\times4=4\times3\times2=4\times2\times3=24
2\times3+4\neq2+3\times4