La continuité sur un intervalle
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
- Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).
Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y= k}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b\right]}\).
La fonction f représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).
- \(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
- \(\displaystyle{f\left(5\right)=4,8}\)
L'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet donc au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = k}\).
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).