La continuité sur un intervalle
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).
La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2 (donc elle n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;4 \right]}\) ).
- Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).
Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y= k}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b\right]}\).
La fonction f représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).
- \(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
- \(\displaystyle{f\left(5\right)=4,8}\)
L'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet donc au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = k}\).
Cas particulier pour \(\displaystyle{k=0}\) :
Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).