La continuité sur un intervalle
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
- Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle I est continue sur I. Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse.
Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f\left(c\right) = k.
Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation y= k sur \left[ a;b\right].
La fonction f représentée ci-dessous est continue sur \left[0 ; 5\right].
- f\left(0\right)=0
- f\left(5\right)=4{,}8
L'équation f\left(x\right) = 3 admet donc au moins une solution sur \left[0 ; 5\right]. Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation y = k.
Cas particulier pour k=0 :
Si f est continue sur \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue et strictement monotone sur \left[a ; b\right], alors pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f\left(c\right) = k.