La continuité Cours

La continuité sur un intervalle

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2 (donc elle n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;4 \right]}\) ).

Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y= k}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b\right]}\).

La fonction f représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).

\(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
\(\displaystyle{f\left(5\right)=4,8}\)

L'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet donc au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = k}\).

Cas particulier pour \(\displaystyle{k=0}\) :

Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).