Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solutionMéthode

En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.

Montrer que l'équation x^3-2x+1=0 admet une unique solution sur \left]-\infty ; -1 \right].

Etape 1

Se ramener à une équation du type f\left(x\right)=k

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à l'équation f\left(x\right) = k.

On pose :

\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right], f\left(x\right) = x^3-2x+1

On cherche à montrer que l'équation f\left(x\right) = 0 admet une unique solution sur \left] -\infty ;-1 \right].

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

Si l'on cherche à démontrer que l'équation f\left(x\right) = k admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de f sur I.

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.

On étudie la fonction f sur \left] -\infty ;-1 \right] :

f est dérivable sur \left] -\infty ;-1 \right] en tant que restriction d'une fonction polynôme et :

\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right], f'\left(x\right) = 3x^2-2

On étudie le signe de f'\left(x\right). Pour cela, on résout l'inéquation f'\left(x\right) \gt 0. Pour tout réel x :

3x^2-2\gt 0

\Leftrightarrow x^2 \gt \dfrac{2}{3}

\Leftrightarrow x \gt \sqrt {\dfrac{2}{3}} ou x \lt -\sqrt {\dfrac{2}{3}}

On en déduit, comme -1 \lt -\sqrt{\dfrac{2}{3}}, que f'\left(x\right) \gt 0 sur \left] -\infty ;-1 \right]. Ainsi, f est strictement croissante sur \left] -\infty ;-1 \right].

De plus, on a :

  • \lim\limits_{x \to- \infty}\left(x^3-2x+1\right)= \lim\limits_{x \to- \infty}x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty
  • \lim\limits_{x \to- 1}\left(x^3-2x+1\right)= \left(-1\right)^3-2\times \left(-1\right) +1=2

On dresse alors le tableau de variations de f :

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Etape 3

Utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

On récite les hypothèses :

  • f est continue sur I.
  • f est strictement monotone sur I.
  • Soit J l'intervalle image de I par f, on vérifie que k \in J.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = k admet une solution unique sur I.

Sur \left] -\infty ;-1 \right] :

  • f est continue.
  • f est strictement monotone
  • \lim\limits_{x \to- \infty} f\left(x\right) = -\infty et \lim\limits_{x \to- 1}f\left(x\right)=2. On a bien 0\in\left] -\infty ;2 \right].

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f\left(x\right) = 0 admet une solution unique sur \left] -\infty ;-1 \right].