On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;3 \right]
- f est strictement croissante
- f est continue
- \lim\limits_{x \to -\infty}f\left(x\right)=-\infty et f\left(3\right)=4, avec 0\in\left] -\infty;4 \right]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left] -\infty;3 \right].
Sur l'intervalle \left[ 3;7 \right]
- f est strictement décroissante
- f est continue
- f\left(3\right)=4 et f\left(7\right)=-10, avec 0\in\left[ -10;4 \right]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \beta sur l'intervalle \left[ 3;7 \right].
Sur l'intervalle \left[ 7;+\infty \right[
- f est strictement croissante
- f est continue
- f\left(7\right)=-10 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=-1, avec 0\notin\left[ -10;-1 \right]
Donc l'équation f\left(x\right)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle \left[ 7;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=0 admet deux solutions sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;2 \right]
- f est strictement décroissante
- f est continue
- \lim\limits_{x \to -\infty}f\left(x\right)=-1 et f\left(2\right)=-7, avec 0\notin\left[ -7;-1 \right]
L'équation f\left(x\right)=0 n'admet donc pas de solutions sur l'intervalle \left] -\infty;2 \right].
Sur l'intervalle \left[ 2;+\infty \right[
- f est strictement croissante
- f est continue
- f\left(2\right)=-7 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty , avec 0\in\left[ -7;+\infty \right[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left[2;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=0 admet une solution sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;0 \right]
- f est strictement croissante
- f est continue
- \lim\limits_{x \to -\infty}f\left(x\right)=-\infty et f\left(0\right)=1, avec 0\in\left] -\infty;1 \right]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left]-\infty;0 \right[.
Sur l'intervalle \left[ 0;+\infty \right[
- f est strictement décroissante
- f est continue
- f\left(0\right)=1 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}, avec 0\notin\left[ \dfrac{1}{2};1\right[
L'équation f\left(x\right)=0 n'admet donc pas de solutions sur l'intervalle \left[0;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=0 admet une solution sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;0 \right]
- f est strictement croissante
- f est continue
- \lim\limits_{x \to -\infty}f\left(x\right)=2 et f\left(0\right)=3, avec 0\notin\left] 2;3 \right]
Donc l'équation f\left(x\right)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle \left]-\infty;0 \right].
Sur l'intervalle \left[ 0;1 \right]
- f est strictement décroissante
- f est continue
- f\left(0\right)=3 et f\left(1\right)=-4, avec 0\in\left[ -4;3 \right]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left[ 0;1 \right].
Sur l'intervalle \left[ 1;+\infty \right[
- f est strictement croissante
- f est continue
- f\left(1\right)=-4 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty, avec 0\in\left[ -4;+ \infty \right[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \beta sur l'intervalle \left[1;+\infty\right[ .
L'équation f\left(x\right)=0 admet deux solutions sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;0 \right]
f admet 2 pour minimum.
Donc pour tout réel x, f\left(x\right)\gt0
Ainsi, l'équation f\left(x\right)=0 n'admet pas de solutions sur \left] -\infty;0 \right].
Sur l'intervalle \left[ 0;+ \infty\right[
- f est strictement décroissante
- f est continue
- f\left(0\right)=3 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=-1, avec 0\in\left[ -1;3 \right]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left[ 0;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=0 admet une solution sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=0 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;2 \right]
f admet -1 pour maximum.
Donc pour tout réel x, f\left(x\right)\lt0
Ainsi, l'équation f\left(x\right)=0 n'admet pas de solutions sur \left] -\infty;2 \right].
Sur l'intervalle \left[ 2;+ \infty\right[
- f est strictement croissante
- f est continue
- f\left(2\right)=-2 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty, avec 0\in\left[ -2;+\infty \right[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left[ 2;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=0 admet une solution sur \mathbb{R}.
On donne le tableau de variations de la fonction f continue sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f\left(x\right)=2 sur \mathbb{R} ?
Sur l'intervalle \left] -\infty;1 \right]
f admet -1 pour maximum.
Donc pour tout réel x, f\left(x\right)\lt2
Ainsi, l'équation f\left(x\right)=2 n'admet pas de solutions sur \left] -\infty;1 \right].
Sur l'intervalle \left[ 1;+ \infty\right[
- f est strictement croissante
- f est continue
- f\left(1\right)=-2 et \lim\limits_{x \to +\infty}f\left(x\right)=+\infty, avec 2\in\left[ -2;+\infty \right[
D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas des fonctions strictement monotones, on en conclut que l'équation f\left(x\right)=2 admet une unique solution notée \alpha sur l'intervalle \left[ 1;+\infty \right[.
L'équation f\left(x\right)=2 admet une solution sur \mathbb{R}.