Les tableaux de proportionnalité et la quatrième proportionnelle
Le fonctionnement
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, 3 \times 1{,}02 = 3{,}06 €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.
La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci.
En effet un garçon de 16 ans peut mesurer 1,80 m alors qu'une femme de 40 ans peut mesurer 1,60 m.
Règle de la multiplication :
Si 2 chaises coûtent 320€ alors 6 chaises coûtent 960€. (On multiplie les valeurs par 3).
Règle de l'addition :
Si 2 chaises coûtent 30€ et 3 chaises coûtent 45€, alors 5 chaises (2 + 3 = 5) coûtent 75€ (30 + 45 = 75).
Passage à l'unité :
Si 6 chaises coûtent 150€, alors une chaise coûte 150\div6=25 € (et donc 4 chaises coûtent 4\times25=100 €)
Tableau et coefficient de proportionnalité
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Sachant qu'un croissant coûte 1,02€, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant, 1,02€.
Les opérations
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.
Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du coefficient de proportionnalité.
Pour retrouver la valeur inconnue on peut diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici le coefficient de proportionnalité est :
2{,}04\div2=1{,}02
Donc :
?=7{,}14\div1{,}02=7
Les applications de la proportionnalité
Les pourcentages
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
\textcolor{Blue}{8{,}9} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{8{,}9}}{100}
\textcolor{Blue}{31} \% = \dfrac{\textcolor{Blue}{31}}{100}
Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :
| Nombre total d'enfants | 20 |
|---|---|
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 |
En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Pour cela on calcule le coefficient de proportionnalité :
\dfrac{5}{20}=0{,}25
On obtient donc la valeur manquante :
100\times0{,}25=25
Et on peut remplir le tableau :
| Situation réelle | Situation standardisée | |
|---|---|---|
| Nombre total d'enfants | 20 | 100 |
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 | 25 |
Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est ainsi égale à 25%.
Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Etienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de 10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2 € sur la chemise.
Certains pourcentages sont à connaître :
- Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
10% de 156 valent 156\div10=15{,}6.
- Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
25% de 240 valent 240\div4=60.
- Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).
50% de 10,2 valent 10{,}2\div2=5{,}1.
Les vitesses
Mouvement uniforme
Un mouvement uniforme est un déplacement qui s'effectue toujours à la même vitesse.
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne V d'un déplacement est égale à la distance d parcourue pendant une durée t :
V=\dfrac{d}{t}
- Si d est en km et t en h alors V est en km/h.
- Si d est en m et t en s alors V est en m/s.
Un avion a parcouru une distance de 1800 km en 2 heures. Sa vitesse moyenne a été de :
V=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 800}{2}=900\text{ km/h}.
Si la durée est par exemple de 2 h 30 min, bien prendre garde à écrire 2,5 h et non pas 2,30 h.
Autres exemples : 2 h 15 min = 2,25 h ou 2 h 45 min = 2,75 h.
Si on se déplace à 60 km/h cela signifie que l'on parcourt 60 km en une heure, ou 30 km en une demi-heure, ou encore 90 km en une heure et demie.
Vitesse et tableau de proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité dont la première ligne est la durée de parcours et la seconde la distance parcourue, le coefficient de proportionnalité est la vitesse.
Les échelles
Echelle
Si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.