La proportionnalitéCours

I

Les tableaux de proportionnalité

A

Principe

Grandeur

Une grandeur est une quantité que l'on peut compter ou exprimer avec une unité de mesure.

Les distances, les vitesses ou encore les prix sont des grandeurs.

Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un nombre. Ce nombre est appelé « coefficient de proportionnalité ».

Un tableau qui contient des valeurs de grandeurs proportionnelles est appelé « tableau de proportionnalité ».

Max a acheté 1 croissant pour 1,02 €. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire, 3 \times 1{,}02 = 3{,}06\text{ €}. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.

-

Deux grandeurs proportionnelles sont deux grandeurs qui varient dans les mêmes proportions.

Si on multiplie les valeurs d'une première grandeur par un nombre k pour obtenir celles d'une deuxième grandeur, il faut donc diviser les valeurs de la deuxième grandeur par k pour obtenir celles de la première grandeur.

On cherche à déterminer le prix d'un croissant.

-

On remarque que 3=1\times3. On divise donc 3,06 par 3 :

3{,}06\div3=1{,}02

Un croissant coûte 1,02 €.

Certaines grandeurs ne sont pas proportionnelles.

La taille d'une personne n'est pas proportionnelle à l'âge de celle-ci.
En effet, un garçon de 16 ans peut mesurer 1,80 m alors qu'une femme de 40 ans peut mesurer 1,60 m.

B

Les opérations

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.

-

Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.

-

Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du coefficient de proportionnalité.

-

Pour retrouver la valeur inconnue, on peut diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici, le coefficient de proportionnalité est :

2{,}04\div2=1{,}02

Donc :

?=7{,}14\div1{,}02=7

-
II

Les applications de la proportionnalité

A

Les pourcentages

Pourcentage

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

\textcolor{Blue}{6} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}

\textcolor{Blue}{8{,}9} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{8{,}9}}{100}

\textcolor{Blue}{31} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{31}}{100}

Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.

Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :

Nombre total d'enfants 20
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5

En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Pour cela on calcule le coefficient de proportionnalité :

\dfrac{5}{20}=0{,}25

On obtient donc la valeur manquante :

100\times0{,}25=25

Et on peut remplir le tableau :

  Situation réelle Situation standardisée
Nombre total d'enfants 20 100
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5 25

Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est ainsi égale à 25 %.

Pour calculer t\text{ \%}  d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.

Une chemise coûte 82 €. Étienne obtient une remise de 10 %.
Il bénéficie donc d'une réduction de 10 \text{ \%} \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2\text{ €}  sur la chemise.

Certains pourcentages sont à connaître.

Prendre 10 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).

10 % de 156 valent 156\div10=15{,}6.

Prendre 25 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).

25 % de 240 valent 240\div4=60.

Prendre 50 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).

50 % de 10,2 valent 10{,}2\div2=5{,}1.

B

Les vitesses

Mouvement uniforme

Un mouvement uniforme est un déplacement qui s'effectue toujours à la même vitesse.

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne V d'un déplacement est égale à la distance d parcourue pendant une durée t  :

V=\dfrac{d}{t}

  • Si d est en km et t en h alors V est en km/h.
  • Si d est en m et t en s alors  est en m/s.

Un avion a parcouru une distance de 1 800 km en 2 heures. Sa vitesse moyenne a été de :

V=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\ 800}{2}=900\text{ km/h}.

Si la durée est par exemple de 2 h 30 min, bien prendre garde à écrire 2,5 h et non pas 2,30 h.

2 h 15 min = 2,25 h

2 h 45 min = 2,75 h

Si l'on se déplace à 60 km/h, cela signifie que l'on parcourt 60 km en une heure, ou 30 km en une demi-heure, ou encore 90 km en une heure et demie.

Vitesse et tableau de proportionnalité

Lors d'un mouvement uniforme, la durée de parcours et la distance parcourue sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

-
C

Les échelles

Échelle

Les dimensions sur un plan (ou une carte) sont proportionnelles aux dimensions réelles.

L'échelle d'un plan (ou d'une carte) est le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir les dimensions sur le plan à partir des dimensions réelles.

L'échelle est souvent donnée sous forme fractionnaire. Dans ce cas, on a :

\text{Échelle}=\dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}}

Si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2 500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2 500 cm en réalité.

Une échelle peut s'écrire \dfrac{1}{2\ 500} ou 1 : 2\ 500.

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